温州2021-2022学年高一期末考题解
作者：互联网
随便写写，有空再补
数学
敢猜就赢了。
\(\texttt{Problem 12}\)
已知函数 \(f(x)=x^2+m,g(x)=f(f(x))-x\)，则（）
A. 当 \(m=\frac{1}{4}\) 时，函数 \(g(x)\) 有且仅有一个零点；
B. 当 \(m>\frac{1}{4}\)，函数 \(g(x)\) 没有零点；
C. 当 \(0<m<\frac{1}{4}\) 时，函数 \(g(x)\) 有两个不同的零点；
D. 当 \(m<0\) 时，函数 \(g(x)\) 有四个不同的零点。
先肯定 ABC。
首先 \(f(x)=x\) 的解肯定是 \(f(f(x))=x\) 的解。\(f(x)=x\) 的解是显然的。
若除此之外仍然有别的解 \(x_1\)，不妨设 \(f(x_1)=x_2\)，其中 \(x_2\not=x_1\)，则 \(f(x_2)=x_1\)。
列出来就是
\[\tag{1} x_1^2+m=x_2 \]\[\tag{2} x_2^2+m=x_1 \]\((1)-(2)\) 得到
\[(x_1+x_2)(x_1-x_2)=x_2-x_1 \]前面说了 \(x_1\not =x_2\)，那就有
\[\tag{3} x_1+x_2=-1 \]\((3)\) 回代 \((1)\)，得到
\[\tag{4} x_1^2+x_1+m+1=0 \]选项 ABC 中 \(m>0\)，\((4)\) 显然是没有实数解的，这就矛盾了。因此就没有别的解了。
D 随便搞个反例就完事了，比如 \(m=-\frac{1}{2}\)，同样只有 \(f(x)=x\) 的解，那么就只有两个解了。
\(\square\)
标签：期末考,ABC,frac,函数,题解,解了,tag,2021,零点 来源： https://www.cnblogs.com/gsjz/p/15851856.html