题目描述

X 星的国王有个怪癖，他只喜欢数字 3，5和 7

国王规定，游客的编号如果只含有因子：3，5，7，就可以获得一份奖品

我们来看前 10 个幸运数字是：

3 5 7 9 15 21 25 27 35 45

因而第 11 个幸运数字是： 49

小明领到了一个幸运数字 59084709587505，要求他准确地说出这是第几个幸运数字

请你帮小明计算一下，59084709587505 是第几个幸运数字。

输入输出

直接输出一个整数，表示 59084709587505 是第几个幸运数字

分析及代码实现

• 建立一个luckNum的集合类，用于储存求出的幸运数
• luckNum 的begin位初始化为1，利用for循环，每次从luckNum中抛出第一个元素（即最小的元素）
• 判断抛出的元素是否等于我们需要的幸运数字：
• 若为，则输出对应的 i - 1（这里是从1开始的，因此需要减去一个1）
• 若不为，则分别与{3，5，7}相乘，并判断是否已经存在
• 不存在则将求出的数insert() 进luckNum

C++代码实现

#include<iostream>
#include <cstdio>
#include<set>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL X = 59084709587505;	
const int coeff[3] = { 3,5,7 };
int main(){
	set<LL> luckNum;
	luckNum.insert(1);
	LL a;
	for (int i = 1;; i++)
	{
		//取出最小值（人为造的最小值）
        a = *luckNum.begin();
		//如果等于所求，输出
        if (a == X){
			cout << i - 1 << endl;
			break;
		}
        
        //去除当前最小
		luckNum.erase(*luckNum.begin());

        //将当前最小值分别于3，5，7相乘
		for (int j = 0; j < 3; j++)
            //若c乘积不存在，则将求出的数加入进luckNum
            if (!luckNum.count(a * coeff[j]))
                luckNum.insert(a * coeff[j]);
    }
	return 0;
}

//最终答案为1905

题目拓展

本题的思路类似紫书上的丑数问题

丑数问题

丑数是指不能被2，3，5以外的其他素数整除的数。

把丑数从小到大排列起来，结果如下：

1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，…

求第1500个丑数。

分析

• 从小到大生成各个丑数。最小的丑数是 1
• 对于任意丑数：x，2x、3x和5x也都是丑数
• 用一个优先队列/set保存所有已生成的丑数，每次取出最小的丑数，生成3个新的丑数
• 需要注意的是，同一个丑数有多种生成方式，所以需要判断一个丑数是否已经生成过

C++代码实现

#include<iostream>
#include <cstdio>
#include<set>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL X = 1500;	
const int coeff[3] = { 2,3,5 };
int main(){
	set<LL> luckNum;
	luckNum.insert(1);
    for (int i = 1;; i++){
        LL a = *luckNum.begin();
		luckNum.erase(*luckNum.begin());
        if (i == X){
            cout << "the 1500th number is " << a << endl;
            break;
        }
        for (int j = 0; j < 3; j++)
            if (!luckNum.count(a * coeff[j]))
                luckNum.insert(a * coeff[j]);
    }
    return 0;
}

//答案为 859963392