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圆方树&仙人掌学习笔记

作者:互联网

仙人掌

定义

任意一条边只会出现在一个环里面的无向图(不一定连通)

https://www.icode9.com/i/i/?n=15&i=blog/795615/201606/795615-20160617203805213-96421613.jpg

(图源yyb's blog

解决工具:(狭义)圆方树

定义

把原图分成两类点,一类是圆点,一类是方点。如果一条边在仙人掌中不属于任何一个环中,那么它直接圆方树中的两个圆点。对于仙人掌中的任意一个环,每个环上的点在圆方树上对应的圆点向这个环对应的方点连边。

它把原图变成了一棵树。如何证明是一棵树:分别证明连通性和\(|E|=|V|-1\)即可。

构建

对于原图割边直接连圆圆边,对于环则用Tarjan把每个环抠出来即可,环的起点即\(\rm dfn\)序最小的点。具体看代码:

void tarjan(int x, int p)
{
	low[x] = dfn[x] = ++ ind;
	for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i], z = w[i]; if (i == p || i == (p ^ 1)) continue;
		if (!dfn[y]) pre[y] = z, f[y] = x, tarjan(y, i), low[x] = min(low[x], low[y]);
		else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
		if (low[y] > dfn[x]) g.add(x, y, z), g.add(y, x, z); // 圆圆边
	}
	for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i], z = w[i];
		if ((dfn[y] > dfn[x]) && (f[y] != x)) Add(x, y, z); // 新建一个方点,连圆方边;此处x即为环的起点,而y是终点;通过不断跳fa即可找出当前环的所有点
	}
	return;
}

性质

例题

仙人掌上两点最短路

建圆方树。圆圆边连原边权,圆方边分类讨论:若是环的起点,连边权为\(0\);否则连该点再环上到环的起点的最短路。

建出圆方树后,找到\(u,v\)的\(\rm {lca}\)为\(p\),同样分类讨论:

仙人掌上直径

建出圆方树。记\(f_x\)表示在以\(x\)为根的子树中以\(x\)为起点的最长链长度。

对于圆圆边,同树形dp的直径求法,有

\[res=\max\{f_u+f_v+1\} \]

\[f_u=\max\{f_v+1\} \]

对于圆方边,我们把环上的点拿出来(断环成链),对环dp后贡献到环的起点上即可。记\(len\)为环长,\(x\)为起点,有

\[res=\max\{i-j+f_i-f_j\}(i-j\leq \lfloor\frac{len}{2}\rfloor) \]

\[f_x=\max\{f_y+{\rm dis}(x,y)\} \]

总结

仙人掌上dp有点类似于基环树dp,即圆圆边就按照树上的方法正常dp,对于一个环就用整个环上的dp值更新起点的dp值,此时一般可以断环成链。

广义圆方树

定义/性质

https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/cjoieryl/1143095/o_a.png

(图源yyb's blog

只有圆方边,对于每个点双新建一个方点,最多只有\(2n-1\)个点的一棵树。代码:

void tarjan(int x, int p)
{
	dfn[x] = low[x] = ++ ind; q[ ++ tt] = x;
	for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i]; if (i == p || i == (p ^ 1)) continue;
		if (!dfn[y])
		{
			tarjan(y, i), low[x] = min(low[x], low[y]);
			if (low[y] >= dfn[x])
			{
				now ++ ; int o;
				do {o = q[tt]; tt -- ; g.add(now, o), g.add(o, now);} while (o != y); // 注意不是o != x
				g.add(now, x), g.add(x, now);
			}
		}
		else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	}
	return;
}

例题

CF487E

看到“\(u\)到\(v\)的所有路径”,想到建圆方树。将方点的权值表示为点双中的最小圆点的权值,那么直接树剖套线段树即可。修改的话可以对每个方点维护一个\(\rm multiset\)维护与之相邻的所有圆点,每修改一个圆点就遍历与之相邻的所有方点修改即可。

但这样会被菊花图卡成\(n^2\)的,考虑优化。我们让方点的\(\rm multiset\)只存儿子圆点的权值,那么修改一个圆点时,就只需要改它父亲的\(\rm multiset\)。询问时只需要特判当\(\rm lca\)为方点时,要对其父亲的权值取\(\rm min\)。复杂度\(\mathcal{O}(n\log^2 n)\)。

总结

广义圆方树的应用场景一般有:

解题思路有:

标签:dfn,int,圆点,笔记,方点,圆方树,low,rm,仙人掌
来源: https://www.cnblogs.com/andysj/p/15823092.html