[cf1428H]Rotary Laser Lock

为了方便，定义0区间初始左端点所在的编号为0，其余位置顺时针依次为$[1,nm)$

考虑对0区间顺时针旋转，记$s_{i}$为0区间左端点旋转到$i$时的答案（约定$s_{i+n}=s_{i}$）

性质1：若$s_{i}-s_{i-1}=1$且$s_{i+1}-s_{i}\ne 1$（其中$0\le i<nm$），则存在一段区间以$i$为左端点

记$a_{i}$为除0以外是否存在区间包含位置$i$（存在为1），不难得到$s_{i}-s_{i-1}=a_{i+m-1}-a_{i-1}$

代入条件，由$s_{i}-s_{i-1}=1$得$a_{i+m-1}=1$且$a_{i-1}=0$，同时$a_{i+m}\ne 1$或$a_{i}\ne 0$

对后者分类讨论，以第一种情况为例，即$a_{i+m-1}=1$且$a_{i+m}\ne 1(=0)$，显然得证

同时，显然$s_{i}$中必然存在这样的$i$，记为$I$并对其余区间分别逆时针旋转一次

性质2：记$s'_{i}$为区间$j$逆时针旋转后的$s_{i}$，则$j$以$I$为左端点当且仅当$s'_{I}-s'_{I-1}\ne 1$

若$j$以$I$为左端点，注意到这会使得$a_{I-1}$变为1，进而即$s'_{I}-s'_{I-1}\ne 1$

另一方面，其需要影响$a_{I-1}$或$a_{I+m-1}$，且前者初始为0、后者初始为1，因此仅能以$I$为左端点

 

综上，考虑重复以下过程直至得到答案——

1.暴力找到$I$，同时将第0个区间移动到以$I$为左端点的位置

2.枚举所有未确定位置的区间，通过4次移动可以判定其是否以$I$为左端点并还原

另外，可以通过合理的操作顺序，使得其同时判定$s_{i}-s_{i-1}$是否为1（不为1即已经不存在以$I$为左端点的区间）

3.对于左端点在$I$上的区间，再逆时针移动$m+1$次（要求不覆盖到$I-1$）

（实际上，这个过程即不断找到连续段的开头）

进一步的，考虑上述过程所需操作次数，对每一步分别考虑：

1.对于第一步，不难发现第一次找到后至多再转一圈，共计$2nm+2(n-1)$次

2.对于第二步，一共有$n-1$轮，第$i$轮至多有$n-i$个区间，共计$4\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)$

3.对于第三步，若第二步中最后一次不还原，每一次实际仅额外产生$m-1$次，共计$(n-1)(m-1)$次

求和后，共计需要$2n^{2}+3nm-n-m-1=25879$次，无法通过

 

对性质2拓展，每次旋转多个区间，设其构成集合$S$，则$S$中存在以$I$为左端点的区间当且仅当$s'_{I}-s'_{I-1}=1$

以此法不断进行二分，即0区间的移动次数变为$2\log n$，次数降为$2\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)+2(n-1)\log n$

同时，由于是不断二分，确定不以$I$为左端点的区间并不需要还原（原来可能会从$I+1$移动到$I$后跳过）

另外，此时第二步还会多出$4(n-1)$次检验，第三步每一次实际额外产生$m+1$次

综上，后两步的次数分别变为$\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)+2(n-1)(\log n+2)$和$(n-1)(m+1)$

求和后，共计需要$\frac{n^{2}}{2}+3nm+2n\log n+\frac{11n}{2}-2\log n-m-7=13107$次，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 105
 4 vector<int>v;
 5 int n,m,L,now,ans[N];
 6 void move(int k,int p){
 7     printf("? %d %d\n",k,p);
 8     fflush(stdout);
 9     scanf("%d",&now);
10 }
11 int main(){
12     scanf("%d%d",&n,&m),L=n*m;
13     for(int i=1;i<n;i++)ans[i]=-1;
14     move(0,1);
15     int lst=now,flag=0;
16     for(int i=0;i<(L<<1);i++){
17         move(0,1);
18         if (ans[0]==n-1)continue;
19         if (lst+1==now)flag=1;
20         else{
21             if (flag){
22                 move(0,-1);
23                 while (1){
24                     if (ans[0]==n-1)break;
25                     move(0,-1),lst=now,move(0,1);
26                     if (lst+1!=now)break;
27                     lst=now,move(0,1);
28                     if (lst+1==now){
29                         move(0,-1);
30                         break;
31                     }
32                     move(0,-1),v.clear();
33                     for(int j=1;j<n;j++)
34                         if (ans[j]<0)v.push_back(j);
35                     int l=0,r=(int)v.size()-1,flag=0;
36                     while (l<r){
37                         int mid=(l+r>>1);
38                         if (!flag){
39                             for(int j=l;j<=mid;j++)move(v[j],-1);
40                         } 
41                         else{
42                             for(int j=mid+1;j<=r;j++)move(v[j],1);
43                         }
44                         move(0,-1),lst=now,move(0,1);
45                         if (lst+1==now)l=mid+1,flag=0;
46                         else r=mid,flag=1;
47                     }
48                     for(int j=0;j<=m-flag;j++)move(v[l],-1);
49                     ans[0]++,ans[v[l]]=(i+L-m-1)%L;
50                 }
51                 lst=now,move(0,1);
52             }
53             flag=(lst+1==now);
54         }
55         lst=now;
56     }
57     printf("! ");
58     for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",ans[i]);
59     fflush(stdout);
60     return 0;
61 }

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标签：Laser,cf1428H,int,Lock,ne,旋转,端点,区间,log
来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/15806647.html