概率论与数理统计

概率论：研究如何定量描述随机现象的发生可能性及其规律
数理统计：通过样本来对总体进行估计或者检验某个假设是否成立

对于随机现象的规律总结

概率：随机事件发生的可能性
概率模型
离散型：二项分布（多次放回重复试验，成功次数的分布概率）、泊松分布、几何分布（独立重复试验，首次成功为止试验次数的分布规律）、超几何分布（不放回抽样，抽中的次品次数的分布规律）
连续型：均匀分布、正态分布、指数分布(分布函数求导=密度函数（密度函数就相当于每个点的概率函数，但是连续型变量一个点的概率是没有意义的））

分析样本，了解总体

卡方分布：n个标准正态分布相加得到自由度为n的卡方分布
t分布：(X服从标准正态分布，Y服从自由度为n的卡方分布）

F分布：设X服从自由度为n1的卡方分布, Y服从自由度为n2的卡方分布，且X，Y独立，则称随机变量F=(X⁄n1 )/(Y⁄n2 )服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F~F(n1，n2)

大数定理
切比雪夫不等式：P(|X-E(X)|<a）>D(X)/a^2
二阶样本中心矩依概率收敛于总体方差
样本均值依概率收敛于总体均值

中心极限定理
当大量同分布的样本相加所得到的和分布近似正态分布，可以将其标准化，然后通过标准正态分布的分布函数图像来求解

参数估计：
有时候已知总体的分布类型或者分布函数但是其中有些未知量，就可以通过样本来对这些未知量进行估计

• 点估计：1.利用样本均值或方差（已知）估计总体均值或方差（包含未知参数），得到对未知参数的估计值。2.构造样本发生的似然函数（每个样本发生的概率乘积），既然样本发生了，就认为其概率为1，求出使其概率最大未知参数的值，这就是未知参数的估计量。
• 对于估计值好坏的评价：1.均方误差准则 E（（估计值-真实值）^2）2.是否满足无偏性（E（估计值）=真实值），系统误差为0。（样本均值、方差是总体均值、方差的无偏估计）
• 区间估计：在某个给定的概率下，给出未知变量的一个估计区间。根据总体方差、均值的已知未知情况，构造不同的轴变量（正态(n)，t（n-1），卡方(n-1)），由于轴变量的分布已知，根据给出的概率（置信水平1-α）求出对应的分位点，再由分位点求出区间值

假设检验（类似区间估计的思路）
依据样本，可以对总体的情况提出一些假设，而检验假设就是用于检验这些假设的可信度。
总的思路就是根据假设构造一个对假设的拒绝域，再根据总体方差、均值的已知未知情况，构造不同的轴变量（正态(n)，t（n-1），卡方(n-1)），由于轴变量的分布已知，根据给出的拒绝域的概率（也就是显著性水平α），求出对应的分位点，再由分位点求出区间值，给出拒绝域，判断假设是否在拒绝域内，如果假设不在拒绝域内就认为在显著性水平α下原假设是正确的。

标签：概率,方差,样本,数理统计,分布,卡方,概率论,拒绝域
来源： https://blog.csdn.net/justgo3/article/details/122483149