数的划分

题目描述

将整数 n 分成 k 份，且每份不能为空，问有多少种不同的分法。当 n=7, k=3n=7,k=3 时，下面三种分法被认为是相同的：1,1,5; 1,5,1; 5,1,1

输入格式

一行两个数 n , k。

输出格式

一行一个整数，即不同的分法数。

样例

输入数据 1

7 3

输出数据 1

4

四种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3；2,2,3。

数据范围与提示

6≤n≤200, 2≤k≤6。

 

题解：

定义一个数组dp[][]，dp[i][j]表示将整数 i 划分为 j 份 的方案数。dp[i][j]的动态转移方程为 ：

 

那么我们应该如何理解该式子呢？首先，如果拿到一个整数 i ，因为题目中要求每份不能为空，因此必须先拿出 j 个数位将 j 份分别放上1，此时剩下 i - j个数。那么剩下的数如何处理呢？可以将其全部分到一份当中（dp[i-j][1]），也可以分到两份中(dp[i-j][2])，...，也可以分到 j 份中(dp[i-j][j])，而每一种分法都是不相同的，所以可以将其全部加起来，和即为dp[i][j]。

不过这个式子看起来并不简洁，为了求得一个简洁的式子，我们再求一个dp[i-1][j-1]，

 

比较上面两个式子可得，

 

这就是一个比较简洁的递推式子了，有点类似于高中数学中的裂项相消原理。

这里注意 i , j 的取值范围，i = 1~n，j = 1~ k，但是求dp[i][j]时，必须保证 i>=j（划分的份数不能超过给定的整数）。

```

//
// Created by 23011 on 13/1/2022.
//
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int a[200][8];
int main()
{
    int n, k, i, j;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    a[0][0] = 1;
    for(i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(j = 1; j <= k; ++j)
        {
            if(j > i)
                a[i][j] = 0;
            else
                a[i][j] = a[i - 1][j - 1] + a[i - j][j];
        }
    }
    printf("%d\n", a[n][k]);
    return 0;
}

标签：简洁,分法,整数,划分,为空,dp,式子
来源： https://www.cnblogs.com/cherish-cv/p/15799926.html