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【whk向】初中数学杂题选做

作者:互联网

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【whk向】初中数学杂题选做

1 几何

1.1 角平分线定理

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如图, \(BD\) 为 \(\Delta ABC\) 的内(外)角平分线,则满足该定理: \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}\) ,也可以变形为 \(\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}\) 。反之亦然成立。该定理的证法有很多,如:等积法、相似、正弦定理等。

证明留作习题,答案略,读者自证不难。

1.1.1

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本题的方法有很多,就比如建系硬算,或取特殊值巧算(如令 \(\angle PNM=60°\) ) ,在此就不做过多阐述了。

在此,给出一个普遍的解法。

\((1)\) :由角平分线定理得, \(\frac{PF}{FQ}=\frac{PN}{QN}\Rightarrow \frac{PF}{PQ}=\frac{QN}{PN+QN}\) ,同理, \(\frac{PE}{PM}=\frac{PN}{PN+MN}\) 。

故,原式可改写为 \(\frac{QN}{PN+QN}+\frac{PN}{PN+MN}=\frac{PN(2PN+QN+MN)}{(PN+QN)(PN+MN)}=\frac{PN(2PN+QN+MN)}{PN^2+(QN+MN)PN+MN·QN}\) 。

由射影定理得, \(PN^2=MN·QN (1)\) ,将该式代入上式得,\(\frac{PN(2PN+QN+MN)}{2PN^2+(QN+MN)PN}=\frac{2PN+QN+MN}{2PN+QN+MN}=1\) 。

\((2)\) :联立 \((1)\) 式与 \(PN^2=PM·MN\) ,得 \(QN=PM\) 。

令 \(t=\frac{MQ}{NQ}(t>0)\) ,易得 \(t=\frac{MQ}{PM}=\cos \angle PMN=\frac{PM}{MN}\) 。

则有 \(\frac{MQ}{PM}=\frac{PM}{MN}\Rightarrow\frac{MQ}{NQ}=\frac{NQ}{MQ+NQ}\Rightarrow(\frac{MQ}{NQ})^2+\frac{MQ}{NQ}-1=0\) ,即 \(t^2+t-1=0\) ,解得 \(t=\frac{\sqrt5-1}{2}\) 。

标签:frac,杂题,MN,whk,MQ,初中,PM,PN,QN
来源: https://www.cnblogs.com/haphyxlos/p/15777199.html