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一道有一定难度的中考几何题的分析与解

作者:互联网

如下图所示,圆 O为 △ABC 的外接圆,AC = BC,AC ⊥ BC;点 D 为圆 O 上的一点,且点 C 和 点 D 分列 AB 的两侧;点 E 是点 D 以 BC 为对称轴的对称点。求EA、EB、EC 三者之间的数量关系。

分析:从图上容易观察到 EA > EB,EA > EC,容易往 EA = EB + EC 上猜测。在尝试证明这个猜测之前,不妨拿简单的情形先验证一下。

由题设知,点 D 在图中右下半圆上可任意选定。先考虑点 D 无限接近点 B 的情形,即 D 和 E 都与点 B 重叠,这时,EA = BA,EB = 0,EC = BC,EA > EB + EC,上面的猜测不能成立,倒是有 EA2 = 2EC2

再考察点 D 无限接近点 A 的情形,即 D 与 A 重叠,这时,EA = 2EC,EB = AB,显然有 EA < EB + EC,而  EA2 = EB2 + AB2 = EB2 + 2AC2 = EB2 + 2EC2.

这两种简单情形可以统一成:EA2 = EB2 + 2EC2,因此接下来试图证明这个结论。

 :延长 EB 交圆 O 于点 F,连接 FA 和 FC,如下图所示:

 由已知条件,易知 AB 为圆 O 的直径,于是 AF ⊥ EF. 即有 EA2 = EF2 + AF2

由圆周角特性可知:∠CDB = ∠CAB = 45°,∠ABC = ∠AFC = 45°

再由 D、E 关于 BC 对称可知,∠CEB = ∠CDB = 45°,而

∠CFE = ∠AFE - ∠AFC = 90° - 45° = 45°

于是 ∠ECF = 180° - ∠CFE - ∠CEF = 90°,且有 FC = EC,于是

EA2 = EF2 + AF2 = 2EC2 + AF2

接下来要证明 EB = AF。

由题设的对称条件易知 EB = BD,在圆 O 上,AF 和 BD 所对的圆周角分别是 ∠ACF 和 ∠BCD.

由对称性有 ∠BCD = ∠BCE,而

∠BCE + ∠BCF = 90°,∠ACF + ∠BCF = 90°

有 ∠BCD = ∠BCE = ∠ACF,即有 AF = BD = EB,于是

EA2 = 2EC2 + AF2 = EB2 + 2EC2.

  

标签:中考,BC,EA,EC,EB,EB2,几何,2EC2,难度
来源: https://www.cnblogs.com/readalps/p/15738258.html