一道有一定难度的中考几何题的分析与解

如下图所示，圆 O为 △ABC 的外接圆，AC = BC，AC ⊥ BC；点 D 为圆 O 上的一点，且点 C 和 点 D 分列 AB 的两侧；点 E 是点 D 以 BC 为对称轴的对称点。求EA、EB、EC 三者之间的数量关系。

分析：从图上容易观察到 EA > EB，EA > EC，容易往 EA = EB + EC 上猜测。在尝试证明这个猜测之前，不妨拿简单的情形先验证一下。

由题设知，点 D 在图中右下半圆上可任意选定。先考虑点 D 无限接近点 B 的情形，即 D 和 E 都与点 B 重叠，这时，EA = BA，EB = 0，EC = BC，EA > EB + EC，上面的猜测不能成立，倒是有 EA² = 2EC²；

再考察点 D 无限接近点 A 的情形，即 D 与 A 重叠，这时，EA = 2EC，EB = AB，显然有 EA < EB + EC，而  EA² = EB² + AB² = EB² + 2AC² = EB² + 2EC².

这两种简单情形可以统一成：EA² = EB² + 2EC²，因此接下来试图证明这个结论。

 解：延长 EB 交圆 O 于点 F，连接 FA 和 FC，如下图所示：

 由已知条件，易知 AB 为圆 O 的直径，于是 AF ⊥ EF. 即有 EA² = EF² + AF²

由圆周角特性可知：∠CDB = ∠CAB = 45°，∠ABC = ∠AFC = 45°

再由 D、E 关于 BC 对称可知，∠CEB = ∠CDB = 45°，而

∠CFE = ∠AFE - ∠AFC = 90° - 45° = 45°

于是 ∠ECF = 180° - ∠CFE - ∠CEF = 90°，且有 FC = EC，于是

EA² = EF² + AF² = 2EC² + AF²

接下来要证明 EB = AF。

由题设的对称条件易知 EB = BD，在圆 O 上，AF 和 BD 所对的圆周角分别是 ∠ACF 和 ∠BCD.

由对称性有 ∠BCD = ∠BCE，而

∠BCE + ∠BCF = 90°，∠ACF + ∠BCF = 90°

有 ∠BCD = ∠BCE = ∠ACF，即有 AF = BD = EB，于是

EA² = 2EC² + AF² = EB² + 2EC².

标签：中考,BC,EA,EC,EB,EB2,几何,2EC2,难度
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