首页 > 其他分享> > 信号检测，假设检验

信号检测，假设检验

2021-12-30 15:32:55 作者：互联网

最近在看信号检测相关原理，主要参考的资料是《现代信号处理》第三版张贤达著，和国防科技大学-随机信号分析与处理（国家级精品课）_哔哩哔哩_bilibili。

从二元假设（假设随机变量服从均值 $\mu$ ，方差 $\sigma^{2 }$ 的正态分布）出发，了解假设检验的概念和过程。

首先二元检测问题的决策理论空间

该过程表示为：信号空间经过信道传输，与加性噪声混合得到一组观测数据 $y$ ，利用这组观测数据（随机变量）得到决策统计量 $t=g(y)$ （如计算观测数据的平均值），决策统计量又称决策函数，常用决策函数为似然比函数 $\frac{p(y|H0)}{p(y|H1)}$ 。当决策统计量大于某阈值Th时，接受H1假设检验为真，小于阈值Th时，接收H0假设检验为假。决策空间D以阈值Th为界，分成两个子空间。

几个概念：

贝叶斯公式 $p(\theta|data)=\frac{p(data|\theta)\times p(\theta)}{p(data)}$ ，其中 $p(\theta|data)$ 为后验概率，贝叶斯最后为了求后验概率，利用根据数据观测到的似然函数 $p(data|\theta)$ 和先验概率 $p(\theta)$ 和数据概率，往往 $p(data)$ 不易得到，在不同的实验中 $p(data)$ 是相同的，所以很多时候用似然比作为判决门限。

例子：极大似然估计与最大后验概率估计 - 知乎

1.先验概率：根据以往的经验和分析得到的概率。

2.后验概率：反映决策者在获得样本信息 $y_{1},y_{2},..,y_{N}$ 后对随机事件 $H_{i}$ 是否发生的自信程度。

3.似然函数：书里定义为 $p(y_{1},y_{2},..,y_{N}\mid H_{i})$ 为观测数组 $y_{1},y_{2},..,y_{N}$ 的似然函数，表示随机事件 $H_{i}$ 发生后观测到的随机样本 $y$ 属于随机事件 ${\color{Red} H_{i}}$ 的样本数据似真度。

4.分布函数（probability distribution function, PDF）：分布密度函数在 $-\infty$ 到 $x$ 的积分。

5.分布密度函数（distribution density function）：条件分布密度函数经常表示为似然函数 $p(y_{n}\mid H_{i})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }e^\frac{-(y_{n}-\mu_{i})^{2}}{2\sigma^2}$ 均值为 $\mu _{i}$ ，方差为 $\sigma^2$ 。

6.误差函数（error fucntion, erf）和补余误差函数（complementary error function,erfc）： $erf(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-t^2}dt$ ， $erfc(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{z}^{\infty}e^{-t^2}dt=1-erf(z)$ 。用来计算检测概率和错误概率。

7.Q函数：高斯分布的右尾面积， $Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^2}dt \,\,x\geq 0$ 。 $Q(x)=\frac{1}{2}erfc(\frac{x}{\sqrt{2}})=1-\frac{1}{2}erf(\frac{x}{\sqrt{2}})$ 。

8.虚警，第一类错误概率。 $P_{F}=\alpha =P(g>Th\mid H_{0})=\int_{Th}^{\infty}p(g\mid H_{0})dg$

9.漏警，第二类错误概率。 $P_{M}=\beta =P(g<Th\mid H_{1})=\int_{-\infty}^{Th}p(g\mid H_{1})dg$

10.检测概率。包括 $H_{0}$ 和 $H_{1}$ 被正确检测的概率。 $P_{D}=p_{0}P_{D0}+p_{1}P_{D1}$ ，先验概率乘以似然概率相加的结果。同理错误概率为 $P_{E} = p_{0}P_{F}+p_{1}P_{M} = p_{0}\alpha+p_{1}\beta$ 。正确和错误概率相加为1 $P_{D}+P_{E}=1$ 。

几种准则：

1.Neyman-Pearson（奈曼-皮尔逊）准则：虚警率限定在一定水平而使检测概率最大

2.一致最大功效准则：追求阈值和备择假设的参数无关

3.贝叶斯准则：决策风险最小

3.1最小错误概率准则

3.2最大后验概率准则

3.3极大极小准则

标签：似然,概率,函数,检测,假设检验,信号,准则,Th
来源： https://blog.csdn.net/qq_38313294/article/details/122226420