数表查找之平衡二叉树

文章目录

• • 1.基本概念
  • • 1.1.AVL引进
    • 1.2.AVL定义
    • 1.3.AVL举例
  • 2.平衡因子
  • 3.AVL树插入时失衡与调整
  • • 3.1.左旋
    • 3.2.右旋
  • 4.AVL四种调整方式
  • • 4.1.LL型调整
    • 4.2.LR型调整
    • 4.3.RL型调整
    • 4.4.RR型调整
  • 5.调整总结
  • 6.删除节点
  • 总结
  • 7.参考博客

1.基本概念

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：

它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

1.1.AVL引进

为什么会出现AVL这种树型结构？

如上图所示，序列是一个升序树，那么当出现这种情况的时候，二叉查找树就会退化为链表，这样搜索的效率又降低了。为了解决这个问题，引进了AVL树。因为这种数据结构很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。

而**对于二叉搜索树的查找效率取决于树的高度，因此保持树的高度最小，即可保证树的查找效率。**同样的序列 ，将其改为下图的方式存储，查找元素 6 时只需比较 3 次，查找效率提升一倍。

可以看出当节点数目一定，保持树的左右两端保持平衡，树的查找效率最高。

这种左右子树的高度相差不超过 1 的树为平衡二叉树。

1.2.AVL定义

平衡二叉查找树：简称平衡二叉树。由前苏联的数学家 Adelse-Velskil 和 Landis 在 1962 年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名也称为 AVL 树。它具有如下几个性质：

• 可以是空树
• 假如不是空树，任何一个结点的左子树与右子树都是平衡二叉树，并且高度之差的绝对值不超过 1

平衡之意，如天平，即两边的分量大约相同。

1.3.AVL举例

上图肯定不是AVL树，因为节点60和节点66就不满足AVL树的定义。需要注意的是如果节点60不满足AVL树的定义，那么节点66也肯定就不满足AVL树的定义。

这个也不是AVL树，，节点66不满足AVL的定义。

这个就是AVL树了。

判断一棵树是不是AVL树其实有trick，你直接层序扫描以下就可以了，只要所有左右节点深度之差不大于1，那么就是AVL树了！

2.平衡因子

某节点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该节点的平衡因子（BF,Balance Factor），平衡二叉树中不存在平衡因子大于 1 的节点。

在一棵平衡二叉树中，节点的平衡因子只能取 0 、1 、-1 ，分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。

3.AVL树插入时失衡与调整

现在的假设是提供一个AVL树

然后在上图的基础上插入一个节点元素，我们来看下动图：

最小失衡子树：在新插入的结点向上查找，以第一个平衡因子的绝对值超过 1 的结点为根的子树称为最小不平衡子树。也就是说，一棵失衡的树，是有可能有多棵子树同时失衡的。而这个时候，我们只要调整最小的不平衡子树，就能够将不平衡的树调整为平衡的树。

平衡二叉树的失衡调整主要是通过旋转最小失衡子树来实现的。根据旋转的方向有两种处理方式，左旋 与 右旋 。

旋转的目的就是减少高度，通过降低整棵树的高度来平衡。

3.1.左旋

加入新节点 99 后，节点 66 的左子树高度为 1，右子树高度为 3，此时平衡因子为 -2。为保证树的平衡，此时需要对节点 66 做出旋转，因为右子树高度高于左子树，对节点进行左旋操作，流程如下：

1. 节点的右孩子替代此节点位置
2. 右孩子的左子树变为该节点的右子树
3. 节点本身变为右孩子的左子树

整个操作流程如下动图所示。

• 节点的右孩子替代此节点位置 —— 节点 66 的右孩子是节点 77 ，将节点 77 代替节点 66 的位置
• 右孩子的左子树变为该节点的右子树 —— 节点 77 的左子树为节点 75，将节点 75 挪到节点 66 的右子树位置
• 节点本身变为右孩子的左子树 —— 节点 66 变为了节点 77 的左子树

3.2.右旋

1. 节点的左孩子代表此节点
2. 节点的左孩子的右子树变为节点的左子树
3. 将此节点作为左孩子节点的右子树。

注意：左旋和右旋是平衡二叉树基本且重要的操作，这个是后面四种插入的基础

4.AVL四种调整方式

大家可以想象以下，如果一颗AVL树由于新插入一个元素导致为一颗不平衡树，情况无非就是四种：

• 左节点的左子树
• 左节点的右子树
• 右节点的左子树
• 右节点的右子树

4.1.LL型调整

LL型调整比较简单，直接右旋即可。目的是将最小失衡子树旋转为数的根结点！

4.2.LR型调整

由于插入元素F插入的位置是E的左子树导致A节点失衡，而E节点是A的左节点的右子树。

而我们的目的是使得原来根节点的左孩子的右孩子 E 节点成为了新的根节点。

1. 对节点B进行左旋操作

   

2. 对节点A进行右旋操作

4.3.RL型调整

由于插入元素F插入的位置是A的右节点的左子树导致A节点失衡，而D节点是A的右节点的左子树。 而我们的目的是使得原来根节点的右孩子的左孩子 D 节点成为了新的根节点。

1. 对节点C进行右旋操作

注意上面这副图中有问题，F因该为C的左节点而不是D的左节点！

2. 对节点A进行左旋

注意上面这副图中有问题，F因该为C的左节点而不是D的左节点！

4.4.RR型调整

RR型调整比较简单，直接左旋即可。目的是将最小失衡子树旋转为数的根结点！

5.调整总结

对于插入导致AVL数不平衡的调整算法，记忆起来也是十分方便！

对于LL,RR型调整，我们的目的是将最小平衡树转为根节点，因此RR就是左旋，LL就是右旋。

对于LR,RL型调整，我们的目的是将插入节点的父节点转为根节点，RL就是先右旋再左旋，LR就是先左旋在右旋。

6.删除节点

AVL树和二叉查找树的删除操作情况一致，像网上有人还把待删除的节点分为什么叶子节点等等，其实这个你在设计算法的时候考虑进去就可以了，特别是根节点的那种情况贼坑，我记得我是用二维指针实现的！

(1条消息) 数表查找之二叉搜索树_非常规自我实现的博客-CSDN博客

删除节点是树中比较难的一个地方，上面是我写的删除节点的算法，非常的巧妙，如果看不懂可以和我交流！

总结

7.参考博客

(1条消息) 平衡二叉树_月雲之霄的博客-CSDN博客_平衡二叉树

这篇博客有AVL数据结构的实现，我就不实现了，原因在于我觉得我已经把二叉搜索树实现了，AVL在它的基础上增加了一些限制而已，并且后面又很多变种树形结构，因此我觉得知道基础实现就可以了，后面的那些知道概念就好

标签：左子,右子,AVL,平衡,查找,二叉树,数表,节点
来源： https://blog.csdn.net/qq_46359697/article/details/122214020