与道路连通空间同伦的拓扑空间也道路连通

\(X, Y\) 是拓扑空间，\(X\) 道路连通，假设 \(Y\) 道路不连通

\(f\circ g\simeq id_Y, g\circ f \simeq id_X\)

证明：

\(f\) 连续，因而 \(f(X)\) 道路连通，不妨设其在 \(Y\) 的道路分支 \(V_1\) 中

所以 \(f(g(Y))\) 也在 \(V_1\) 中

取 \(Y\) 另一道路分支 \(V_2\) 中一点 \(y_0\)，有 \(y_1 = f\circ g (y_0)\) 是 \(V_1\) 中一点

设 \(H: id_Y \simeq f\circ g\)，那么 \(\gamma(t) = H(y_0, t)\) 是 \(y_0\) 到 \(y_1\) 的一条道路，这矛盾，因而 \(Y\) 必定道路连通