数学小知识点：贝叶斯公式的简单理解

2021.11.23

我们常有公式：

P ( X ∣ Y ) = P ( X , Y ) P ( Y ) P(X|Y)=\frac{P(X, Y)}{P(Y)} P(X∣Y)=P(Y)P(X,Y)​

• P ( X , Y ) P(X, Y) P(X,Y)是联合分布，如果是离散的那么就同时满足

  理解：

  例如：X = 男生，Y = 学计算机，

  那么, 有 P ( X ∣ Y ) ∗ P ( Y ) = P ( X , Y ) P(X|Y)*P(Y)=P(X,Y) P(X∣Y)∗P(Y)=P(X,Y)，即，学计算机的概率*学计算机中是男生的概率=人群中即使学计算机且是男生的概率（式子这么理解很好理解很好理解，下面贝叶斯公式第一步会用到）

贝叶斯公式

P ( Y i ∣ X ) = P ( Y i ) P ( X ∣ Y i ) ∑ j = 1 n P ( Y j ) P ( X ∣ Y j ) P(Y_i|X)=\frac{P(Y_i)P(X|Y_i)}{\sum_{j=1}^nP(Y_j)P(X|Y_j)} P(Yi​∣X)=∑j=1n​P(Yj​)P(X∣Yj​)P(Yi​)P(X∣Yi​)​

1. 推导过程：
   P ( Y i ∣ X ) = P ( Y i , X ) P ( X ) = P ( Y i ) P ( X ∣ Y i ) ∑ j = 1 n P ( Y j ) P ( X ∣ Y j ) P(Y_i|X)=\frac{P(Y_i,X)}{P(X)}=\frac{P(Y_i)P(X|Y_i)}{\sum_{j=1}^nP(Y_j)P(X|Y_j)} P(Yi​∣X)=P(X)P(Yi​,X)​=∑j=1n​P(Yj​)P(X∣Yj​)P(Yi​)P(X∣Yi​)​

2. 实例讲解

   条件： Y 0 = 学 计 算 机 ； Y 1 = 不 学 计 算 机 ； X = 男 生 ； Y_0=学计算机；Y_1=不学计算机；X=男生； Y0​=学计算机；Y1​=不学计算机；X=男生；

   假设：i=0, Y 0 Y_0 Y0​=学计算机；进行理解

   

   【理解1】和最上面公式理解一模一样

   .

   

   【理解2】人群中即使学计算机且是男生的概率=人群中学计算机的概率=*找了个学计算机的人前提下他是男生的概率

   .

   

   【理解3】男人的概率=人群中学计算机的概率*学计算机中是男性的概率+人群中不学计算机的概率*不学计算机中是男性的概率

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来源： https://blog.csdn.net/wistonty11/article/details/122113570