傅里叶变换

1.傅里叶级数的定义：

数学上对任意函数进行分解，必须保证有一个可以表示该函数的正交，归一函数族。

若将此用于信号的分解上，则一个正交，归一的函数族构成了信号空间，在这个空间中任何信号可以用这样一族函数表示。

在常用函数中正交，归一的函数族有很多种，如三角函数族、正负负指数族、沃尔什函数族等，用这些基本的函数完成任意信号的分解，从而建立谱的概念，同时解决连续信号时-频之间的变换。

 

下面简单讨论三角函数族，我们知道对于一个向量正交来说，两个向量相乘为0,则称这两个向量为正交向量，任意向量可以用这两个向量乘以不同系数来表示。

同样的，对于任意两个函数相乘积分为0，则称这两个函数是正交的。

其中，将这些所有互相正交的函数称为正交函数集。其中任意函数都可由其正交函数集乘以不同系数来表示。

 

正交函数集定义

 

 

 

X(t)表示任意信号，用正交函数集可以合成任意信号

 

 

 

三角函数正交函数集

 

 

 

傅里叶级数定义：

任何一个周期为T的周期信号f(t)，满足狄里克雷条件，都可展开为如下三角级数

 

其中1为基波角频率，它与信号周期T关系为2/T

 

 

 

 看概念可能不好理解，下面是我找的例子

 

 

 

 2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)

 

由来：为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专有名词

 

X(t) ---------------------------->(t)

 

     截断、周期延拓

 

周期信号(t)的傅里叶级数分解：

 

   ω = 2 * π *f0 

 

离散化处理：连续域转变为离散域，积分变为和

 

 

3.快速傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transform)

 

定义：快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的一种有效算法，通过选择和排列中间结果，可有效减小运算量，计算结果是相同的。

 

不同频率点对应DFT计算公式中的冗余：

 

 

 

 由此，可以看出离散傅里叶变换中存在着许多计算的冗余，FFT就是为了解决这个防止重复性计算

FFT里面比较常用的就是采用了蝶形运算的方法，来减少运算量，不过其要求就是点数必须是2的幂次方。所以在调用FFT时候其数据长度必须为2的幂次方。

 

4.FFT谱的栅栏效应

为提高效率，一般都采用FFT算法来计算信号频谱，设采样频率为Fs,采样数据点数为N,则信号的截断周期和基频为；

T=N/Fs; f0=Fs/N

FFT计算的各傅里叶级数的频率位置为：

 

fn = i*Fs/N; i=0,1,2,3……

 

 

一般来说栅栏效应带来的误差使得真实频率的幅度值变小，最大可达到36%

 

 

 

能量泄露是由截断带来的，而栅栏效应是FFT带来的，严格上来说，若周期截断的话频谱就像上面这样，就不会有能量泄露，那一旦FFT的采样点偏移的话可能什么都读不到。但实际上这类情况并不会发生，也就是说一定会有能量泄露发生，那样的话，即使读不到真正的谱峰也能读到其旁瓣信号。这也是FFT之所以适用的原因。

 

所以能量泄露原本是不希望有的，但对FFT变换来讲确是有利的。接下来就是如何改进能量泄露了，使得其对FFT变换更有利一些，也就是增加其主瓣宽度。一般通过加窗来实现，简单讲就是用其他函数与原函数相乘截断。

 

 

 一般通过加窗以后其幅度值最后需要乘以其修正系数

 

 

 

 

 

2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)

由来：为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专有名词

X(t)                                (t)

           截断、周期延拓

周期信号(t)的傅里叶级数分解：

  =2f0

离散化处理：连续域转变为离散域，积分变为和

标签：函数,变换,FFT,正交,信号,傅里叶
来源： https://www.cnblogs.com/ideaWorks/p/15722315.html