证明 \(n\ge 2\) 时 \(S^n\) 单连通

• 证明 \(n\ge 2\) 时 \(S^n\) 单连通
  • 命题 4.11 （p119）
    • 证明
    • \(X_2\) 单连通不可缺少
    • \(X_0\) 道路连通的条件不可缺少
  • \(S^2\) 单连通

命题 4.11 （p119）

• 设 \(X_1, X_2\) 都是 \(X\) 的开集，其中 \(X_2\) 是单连通的，并且 \(X_1 \cup X_2 = X, X_0 = X_1 \cap X_2 \ne \emptyset\)，\(X_0\) 道路连通，则：
  \(i_\pi: \pi_1(X_1, x_0)\to \pi_1(X, x_0)\) 是满同态，这里 \(i: X_1\to X\) 是包含映射，\(x_0\in X_1\)

首先稍作分析，\(X_2\) 是单连通的，跟 \(X_1\) 有交集，这是否说明 \(X_1\) 与 \(X\) 有相同的结构？

并不，如上图。 \(X_1\) 是圆盘开洞，\(X_2\) 是圆盘，\(X = X_1\cup X_2\) 反而是单连通的。
这也说明 \(i_\pi\) 不一定是单同态，因为这里 \(i_\pi\) 将 \(X_1\) 中所有闭路类映为 \(X\) 中同一个闭路类

证明

\(\pi_1(X, x_0)\) 中闭路类 \(\langle a \rangle\)，取代表元闭路 \(a\)

设 \(U_1 = a^{-1}(X_1), U_2 = a^{-1}(X_2)\)，\(U_1, U_2\) 各是一族 \(I\) 上开区间，显然有 \(U_1\cup U_2\) 构成 \(I\) 开覆盖

因而由 Lebesgue 引理，\(I\) 能被分割为有限多闭区间小段，使得每一小段都分别落在 \(U_1\) 或 \(U_2\) 当中

举例来说可以看上图，\(a:I\to X\) 也随着 \(I\) 被划分为三段。\(I = I_1 \cup I_2 \cup I_3\)，且有 \(I_1, I_3\) 能被包含在 \(U_1\) 元素中, \(I_2\) 能被包含在 \(U_2\) 的元素中

如果 \(a\) 上有对应切割点不在 \(X_0\) 中，比如上图的点 \(c\)，那么连着点 \(c\) 的两端必然都在 \(X_2\) 当中，这一点在划分 \(I\) 时得到保证。
因而归纳地去掉所有不在 \(X_0\) 中的切割点，剩下的划分仍然满足每一小段都分别落在 \(U_1\) 或 \(U_2\) 当中

于是我们得到了一个切割点全在 \(X_0\) 中的 \(I\) 的划分，就像上图（去掉 \(c\)）

由于 \(X_2\) 单连通，所以蓝色部分和棕色部分定端同伦，他们连接上剩下的道路仍然定端同伦（道路类乘积），因而 \(a\) 总能找到对应的 \(X_0\) 中闭路定端同伦

\(X_2\) 单连通不可缺少

像这样，\(X_1\) 单连通，\(X\) 是个 \(S^1\)，基本群同态必然不满射

事实上，\(X_1\) 中找不到一条闭路与 \(a\) 定端同伦

\(X_0\) 道路连通的条件不可缺少

举例说明

两个单连通的空间并起来是 \(S^1\)

\(S^2\) 单连通

\(S^2\) 上取不同两点 \(s_0, s_1\)，则:

记 \(U_1 = S^2-\{s_0\}\cong E^2, U_2 = S^2-\{s_1\}\cong E^2\)

\(U_1, U_2\) 两个空间都单连通，并为 \(S^2\)，交是 \(S^2\) 挖两个洞，也是 \(E^2\) 挖一个洞，所以非空且道路连通，因而 \(\forall x_0\in U_1 \subset S^2\)，都有

\(i_\pi: \pi_1(U_1, x_0)\to \pi_1(S^2, x_0)\) 是满同态，故而 \(S^2\) 单连通

\(n > 2\) 同理，利用 \(S^n-\{x\} \cong E^n\)