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基础拓扑学讲义 1.12 S2单连通

作者:互联网

证明 \(n\ge 2\) 时 \(S^n\) 单连通

命题 4.11 (p119)

  • 设 \(X_1, X_2\) 都是 \(X\) 的开集,其中 \(X_2\) 是单连通的,并且 \(X_1 \cup X_2 = X, X_0 = X_1 \cap X_2 \ne \emptyset\),\(X_0\) 道路连通,则:
    \(i_\pi: \pi_1(X_1, x_0)\to \pi_1(X, x_0)\) 是满同态,这里 \(i: X_1\to X\) 是包含映射,\(x_0\in X_1\)
X2 X1 X0 X

首先稍作分析,\(X_2\) 是单连通的,跟 \(X_1\) 有交集,这是否说明 \(X_1\) 与 \(X\) 有相同的结构?

并不,如上图。 \(X_1\) 是圆盘开洞,\(X_2\) 是圆盘,\(X = X_1\cup X_2\) 反而是单连通的。
这也说明 \(i_\pi\) 不一定是单同态,因为这里 \(i_\pi\) 将 \(X_1\) 中所有闭路类映为 \(X\) 中同一个闭路类

证明

X2 X1 I1:U1 I3:U1 I2:U2 x0 c X0 X I

\(\pi_1(X, x_0)\) 中闭路类 \(\langle a \rangle\),取代表元闭路 \(a\)

设 \(U_1 = a^{-1}(X_1), U_2 = a^{-1}(X_2)\),\(U_1, U_2\) 各是一族 \(I\) 上开区间,显然有 \(U_1\cup U_2\) 构成 \(I\) 开覆盖

因而由 Lebesgue 引理,\(I\) 能被分割为有限多闭区间小段,使得每一小段都分别落在 \(U_1\) 或 \(U_2\) 当中

举例来说可以看上图,\(a:I\to X\) 也随着 \(I\) 被划分为三段。\(I = I_1 \cup I_2 \cup I_3\),且有 \(I_1, I_3\) 能被包含在 \(U_1\) 元素中, \(I_2\) 能被包含在 \(U_2\) 的元素中

如果 \(a\) 上有对应切割点不在 \(X_0\) 中,比如上图的点 \(c\),那么连着点 \(c\) 的两端必然都在 \(X_2\) 当中,这一点在划分 \(I\) 时得到保证。
因而归纳地去掉所有不在 \(X_0\) 中的切割点,剩下的划分仍然满足每一小段都分别落在 \(U_1\) 或 \(U_2\) 当中

于是我们得到了一个切割点全在 \(X_0\) 中的 \(I\) 的划分,就像上图(去掉 \(c\))

由于 \(X_2\) 单连通,所以蓝色部分和棕色部分定端同伦,他们连接上剩下的道路仍然定端同伦(道路类乘积),因而 \(a\) 总能找到对应的 \(X_0\) 中闭路定端同伦

\(X_2\) 单连通不可缺少

X2 X1 I1:U1 I3:U1 I2:U2 x0 c X0 X I

像这样,\(X_1\) 单连通,\(X\) 是个 \(S^1\),基本群同态必然不满射

事实上,\(X_1\) 中找不到一条闭路与 \(a\) 定端同伦

\(X_0\) 道路连通的条件不可缺少

举例说明

两个单连通的空间并起来是 \(S^1\)

\(S^2\) 单连通

\(S^2\) 上取不同两点 \(s_0, s_1\),则:

记 \(U_1 = S^2-\{s_0\}\cong E^2, U_2 = S^2-\{s_1\}\cong E^2\)

\(U_1, U_2\) 两个空间都单连通,并为 \(S^2\),交是 \(S^2\) 挖两个洞,也是 \(E^2\) 挖一个洞,所以非空且道路连通,因而 \(\forall x_0\in U_1 \subset S^2\),都有

\(i_\pi: \pi_1(U_1, x_0)\to \pi_1(S^2, x_0)\) 是满同态,故而 \(S^2\) 单连通

\(n > 2\) 同理,利用 \(S^n-\{x\} \cong E^n\)

标签:同伦,连通,1.12,cup,S2,闭路,U1,pi,拓扑学
来源: https://www.cnblogs.com/human-in-human/p/15696185.html