powerful number & ULR #1 校验码
作者：互联网
用 PN 做 min25 模板：
\(F(p^k) = p^k(p^k-1),F(p)=p(p-1)\)
构造 \(G(x) = x\varphi(x)\) ，\(H = F/G\) ，\(H\) 只在 PN 处有值。
\[\sum_{i=1}^n F(i) = \sum_{d=1}^n [d\in \text{PN}] H(d) \text{sum}G(n/d) \]想要求：
\[\text{sum}q(\lfloor \dfrac nt \rfloor) \]\[q(p^k) = p^{c\lfloor k/2 \rfloor} \]\[q(p) = 1 \]
用 PN 做：
构造函数 \(G=I,H=q/I\)，\(H\) 只在 PN 处有值。
算一算会发现：
\[H(p^k) = [k\bmod 2 = 0](p^{ck/2}-p^{ck/2-1}) \]于是只在平方数处有值。
\[\text{sum}q(n) \]\[=\sum_{i=1}^{\sqrt n} H(i^2)\lfloor\dfrac{n}{i^2}\rfloor \]可以线性筛求 \(H(i^2)\) 前缀和，整除分块，做到 \(n^{1/3}\) .
怎么求所有的 \(\text{sum}q(\lfloor \dfrac nt \rfloor)\) 呢：
- 对于阈值 \(<S\) 的线性筛前 \(S\) 个 \(q\) 。
- 对于 \(>S\) 的 \(n/S\) 个，直接 \(\sum_{i=1}^{n/S} (n/i)^{1/3} = n/S^{2/3}\) 求。
\(S=n^{3/5}\) 可以做到 \(n^{3/5}\) 求出以上。
原问题的转化还是很复杂的：
设 \(f(p^k) = p^{k\bmod 2}\) 。
\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m q(ij) \]\[\sum_{d=1}^n g(d) \sum_{i\in [1,n],d|f(i)} \sum_{j\in [1,m],d|f(j)}q(i)q(j) \]标签：lfloor,ULR,text,sum,powerful,number,rfloor,dfrac,PN 来源： https://www.cnblogs.com/Rainbowsjy/p/15654234.html