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概率统计基础及其R语言实现-2

2021-12-01 21:35:13 作者：互联网

二、典型概率分布

2.1 离散型随机变量分布

伯努利分布（Bernouli）
二项分布（Binomial）
几何分布（Geometric)
负二项分布（Negative binomial）
泊松分布（poisson）

2.1.1 二项分布

二项分布可用来描述由n次随机试验组成的随机结果，它满足以下条件：

重复进行n次随机试验
n次试验相互独立，即一次试验结果不对其他试验结果产生影响
每次试验结果仅有两种可能
每次试验成功概率为p,失败概率为1-p

假设我们重复某事件n次，每次试验只有A或B两种结果，A的概率为p，B的概率为1-p，则这n次试验的记录可能为：ABABAABBBAABB...BBAA，其中A有i个，则B有n-i个。因此每个这样的序列产生的可能性为： $p^i(1-p)^{^n-i}$ , 又因为这样的序列共有 $\binom{n}{i}$

由此可以得出： $P_{i} = B(n,p) = \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$ ,i=0,1,2,...,n

X服从二项分布就记为X～B(n,p),二项分布是最重要的离散型概率分布之一。

均值：E(x)=np

方差：Var(X)=np(1-p)

标准差： $\sigma$ (X)=[np(1-p)] $^{1/2}$

2.1.2 泊松分布

泊松分布可以用来描述以下随机变量：

在一定时间内，电话总站接错电话的次数
在一定时间内，其操作系统发生故障的次数
一个铸件上的缺陷数
一平方米玻璃上的气泡个数
一件产品因擦伤留下的痕迹数
一页书上的错字个数

由这些例子可以看出，泊松分布与计点过程相关联，并且是在一定时间范围内或一定区域内、一特定单位的前提下进行的，若用 $\lambda$ 表示特定单位内的平均点数（ $\lambda$ >0),又令i表示某特定单位内实际出现的点数，则X取i值的概率为：

$P(X=i) = \frac{e^{-\lambda }\lambda ^{i}}{i!}$

常记为X~P( $\lambda$ )。

均值：E(X)= $\lambda$

方差：Var(X)= $\lambda$

标准差： $\sigma =\lambda ^{1/2}$

2.1.3 特殊规律

泊松分布可作为二项分布的极限而推导得到，一般来说，若X～B(n,p)其中n很大，p很小，而 $\lambda$ =n p不太大时，X的分布接近于泊松分布，这个事实可以将有些较难计算的二项分布转化为泊松分布来计算。

2.2 连续型随机变量分布

均匀分布（uniform)
正态分布（Normal)
指数分布（exponential)
威布尔分布

2.2.1 正态分布

如果随机变量X的密度函数为：

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu)^2 }{2\sigma ^{2}}}$

则称随机变量X服从正态分布，记为X～N( $\mu ,\sigma ^2$ )。

正态分布的曲线是对称的钟形曲线，称为正态曲线。

正态分布含有两个参数 $\mu \sigma$ ，其中 $\mu$ 为正态分布的均值，它是正态分布的中心，X在 $\mu$ 附近取值的概率是最大的； $\sigma ^2$ 是正态分布的方差， $\sigma$ 越大，分布越分散，反之分布越集中。由上图也可以发现，当 $\sigma$ 越大是，函数图像越宽，分布越散。

$\mu$ 决定正态曲线的位置， $\sigma$ 决定正态曲线的形状。

当我们固定标准差 $\sigma$ 时，不同的均值，如 $\mu _{1}$ < $\mu _{2}$ ，对应的正态曲线完全相同，只有位置不同。固定均值 $\mu$ 时，不同的标准差，如 $\sigma _{1}$ < $\sigma _{2}$ ,对应的正态分布曲线位置相同，但形状（高矮胖瘦）不同。

$\mu =0$ 且 $\sigma =1$ 的正态分布较标准正态分布。

标签：泊松,概率,语言,试验,分布,二项分布,随机变量,正态分布,统计
来源： https://blog.csdn.net/BlancheXX/article/details/121662102