CF1592F2 Alice and Recoloring 2

目前在看贪心/构造/DP 杂题选做,发现一道非常不错的结论题，具有启发意义。

先说明如下结论

结论一：如何怎么样都不会使用二和三操作
证明：
二三操作显然可以通过两次一操作达到，而其操作费用大于两次一操作费用

所以显然我们只会操作一四操作。

那么我们发现翻转一整个矩形不好操作，翻转到一特定状态也不好处理，不如考虑倒序操作：即给定特定状态变为全白状态的费用，知其与原问题等价。

然后我们处理翻转问题，我们考虑一个转换
\(a_{i,j} = a_{i,j}\ xor\ a_{i+1,j}\ xor\ a_{i,j + 1}\ xor\ a_{i + 1,j + 1}\)。
我们发现全白时显然全等为\(0\)。

而一四操作我们可以将其本质变为：

一操作：单点翻转\((x,y)\)

四操作：四点翻转\((x,y),(x,m),(n,y),(n,m)\)

那么问题变得显然起来。

我们依旧给出了两个结论

结论二：不用同时使用两个横坐标或竖坐标相等的四操作
证明：其等价于修改四个任意散点，其可以等价于四次一操作的费用

结论三：除非\((x,y),(n,y),(x,m)\)都为1，才会使用\((x,y)\)这一四操作
证明：如果有一个不为\(1\)，那么其有一个错误反转，我们需要其一个一操作反转回来，那么其等价于\(1 + 2 = 3\)，可以使用一操作代替。

那么经典问题转化为满足某种条件的改变行列取点数量。

二分图上最大匹配即可。

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来源： https://www.cnblogs.com/dixiao/p/15628595.html