【剑指Offer】1.整数除法

创建时间: November 22, 2021 2:54 PM
最后编辑时间: November 22, 2021 4:21 PM
标签: 位运算, 数学
网址: https://leetcode-cn.com/problems/xoh6Oh/
难度: 简单

题目

输入2个int型整数，它们进行除法计算并返回商，要求不得使用乘号*、除号/及求余符号%。当发生溢出时，返回最大的整数值。假设除数不为0。例如，输入15和2，输出15/2的结果，即7。

分析

这个题目限制我们不能使用乘号和除号进行运算。一个直观的解法是基于减法实现除法。例如，为了求得15/2的商，可以不断地从15里减去2，当减去7个2之后余数是1，此时不能再减去更多的2，因此15/2的商是7。我们可以用一个循环实现这个过程。

但这个直观的解法存在一个问题。当被除数很大但除数很小时，减法操作执行的次数会很多。例如，求\((2^{31}-1 )/1\)，减1的操作将执行\(2^{31}-1\)次，需要很长的时间。如果被除数是\(n\)，那么这种解法的时间复杂度为\(O(n)\)。

我们需要对这种解法进行优化。可以将上述解法稍做调整。当被除数大于除数时，继续比较判断被除数是否大于除数的2倍，如果是，则继续判断被除数是否大于除数的4倍、8倍等。如果被除数最多大于除数的2k倍，那么将被除数减去除数的2k倍，然后将剩余的被除数重复前面的步骤。由于每次将除数翻倍，因此优化后的时间复杂度是\(O(logn)\)。(注：这里减去除数的2k倍，而不是k倍，是因为本题ban掉了乘号* ，因此要实现被除数减去除数的倍数，只能通过将除数通过自己加自己的方式进行翻倍，即value+=value ，所以倍数是2k倍，即2的整数倍。)

下面以15/2为例讨论计算的过程。15大于2，也大于2的2倍（即4），还大于2的4倍（即8），但小于2的8倍（即16）。于是先将15减去8，还剩余7。由于减去的是除数的4倍，减去这部分对应的商是4。接下来对剩余的7和除数2进行比较，7大于2，大于2的2倍（即4），但小于2的4倍（即8），于是将7减去4，还剩余3。这一次减去的是除数2的2倍，对应的商是2。然后对剩余的3和除数2进行比较，3大于2，但小于2的2倍（即4），于是将3减去2，还剩余1。这一次减去的是除数的1倍，对应的商是1。最后剩余的数字是1，比除数小，不能再减去除数了。于是15/2的商是4+2+1，即7。

一些细节

• 结果溢出
  java中int的取值范围是\([-2^{31},2^{31}-1]\)，因此只有一种情况下，结果才会溢出，即\(-2^{31}/(-1)=2^{31}\)
• int的最小值
  可以用Integer.MIN_VALUE 表示，也可以用0x80000000 表示（最高位是符号位，1表示负数，其他位全为0，根据补码可以计算出值为\(-2^{31}\)）
• 正负号
  同号相除为正，异号相除为负。先同号相除，再定正负。
  思考：使用正数相除还是负数相除？
  答：负数相除，因为负数最小值的绝对值比正数大，因此负数转正数可能会溢出。使用负数相除时，采用的方法是基于加法实现除法 ，与前面的例子类似。

代码

class Solution {
    public int divide(int a, int b) {
        //唯一溢出的情况: -2^31 / -1 =2^31 ，溢出
        if(a==Integer.MIN_VALUE && b==-1)return Integer.MAX_VALUE;
        //被除数为0，结果也为0
        if(a==0)return 0;
        //同号相除为正，异号为负
        int negative=2;
        if(a>0){
            a=-a;
            negative--;
        }
        if(b>0){
            b=-b;
            negative--;
        }
        //这里将运算双方转为负数相除，因为负数的绝对值比正数的绝对值大1，所有运算范围比正数大
        int res=divideNegative(a,b);
        return negative==1?-res:res;

    }
    //定义两个负数的除法运算
    public int divideNegative(int a,int b){
        //存放结果
        int res=0;
        //基于加法实现负数的除法操作
        while(a<=b){
            //用value实现除数b的不断翻倍
            int value=b;
            //times是除数b的倍数
            int times=1;
            //value>=0xc0000000是为了防止value+value溢出，0xc0000000等于Integer.MIN_VALUE/2
            while(value>=0xc0000000 && a<=value+value){
                times+=times;
                value+=value;
            }
            res+=times;
            a-=value;
        }
        return res;

    }
}

标签：15,Offer,int,整数,减去,相除,除法,被除数,除数
来源： https://www.cnblogs.com/ajietext/p/15595269.html