Solution -「二项式定理与组合恒等式」一些练习
作者：互联网
\[{\Large \mathbb{No \ hay \ cosa \ mas \ feliz \ en \ el \ mundo \ que \ ver \ tu \ sonrisa \ mi \ Miffy}} \]
Task 1
\(\mathcal{Prob:}\) \((3x - 2y)^{18}\) 的展开式中， \(x^5y^{13}\) 的系数是什么？\(x^8y^9\) 的系数是什么？
\(\mathcal{Sol:}\) 由二项式定理可得：\(x^5y^{13}\) 的系数为 \(\binom {18} {5} \times 3^5 \times 2^{13}\)，没有 \(x^8y^9\) 这一项。
Task 2
\(\mathcal{Prob:}\) 用二项式定理证明：\(3^n = {\large \sum \limits_{k = 0}^{n} } \dbinom {n} {k} 2 ^ k\)，并扩展结果，对任意实数 \(r\) 求和 \({\large \sum \limits_{k = 0}^{n} } \dbinom {n} {k} r ^ k\)。
\(\mathcal{Sol:}\) \(3^n = (2 + 1) ^ n\)，然后二项式定理直接展开即可得右式。
\(\mathcal{Extra:}\) 考虑逆用二项式定理 \({\large \sum \limits_{k = 0}^{n}} \dbinom {n} {k} r ^ k = (r + 1) ^ n\)。
Task 3
\(\mathcal{Prob:}\) 用二项式定理证明：\(2^n = {\large \sum \limits _{k = 0}^{n}} (-1)^k \dbinom {n} {k} 3^{n - k}\)。
\(\mathcal{Sol:}\) \(2^n = (3 - 1) ^ n\)，然后二项式定理直接展开即可得右式。
Task 4
\(\mathcal{Prob:}\) 求和 \({\large \sum \limits _{k = 0}^{n}} (-1)^k \dbinom {n} {k} 10^k\)。
\(\mathcal{Sol:}\) \({\large \sum \limits _{k = 0}^{n}} (-1)^k \dbinom {n} {k} 10^k = {\large \sum \limits _{k = 0}^{n}} (-1)^k \dbinom {n} {k} 10^k \times 1^{n - k}\)。
逆用二项式定理，原式可化为：\((1 - 10) ^ n\)，即 \((-9)^n\)。
Task 5
\(\mathcal{Prob:}\) 试证明 \(\dbinom {n} {k} - \dbinom {n - 3} {k} = \dbinom {n - 1}{k - 1} + \dbinom {n - 2} {k - 1} + \dbinom {n - 3} {k - 1}\)。
$\mathcal{Sol:} $ 考虑组合意义。我们现在给定 \(n\) 个不同的球。
- 左式。表示：我们在 \(n\) 个球中钦定 \(3\) 个球，再在 \(n\) 个球中选出 \(k\) 个，且保证我们钦定的 \(3\) 个球中至少有 \(1\) 个球被选了的方案数。
- 右式。表示：我们在 \(n\) 个球中钦定 \(3\) 个球，记作 \(a, b, c\)，不必考虑 \(a, b, c\) 的顺序。则 \(\dbinom{n - 1} {k - 1}\) 可看为在 \(n\) 个球中选出 \(k\) 个且必选 \(a\) 的方案数，且 \(\dbinom{n - 2} {k - 1}\) 可看为在 \(n\) 个球中选出 \(k\) 个且必选 \(b\)、必不选 \(a\) 的方案数，\(\dbinom{n - 3} {k - 1}\) 可看为在 \(n\) 个球中选出 \(k\) 个且必选 \(c\)、必不选 \(a,b\) 的方案数。三式求和即为 \(n\) 个球中选 \(k\) 个，且 \(a, b, c\) 至少出现一个的方案数。
不难发现左式、右式意义相同，得证。
Task 6
\(\mathcal{Prob:}\) 设 \(n\) 为正整数，证明：\({\large \sum \limits_{k = 0}^n} (-1)^k \dbinom {n} {k} ^ 2 = \begin{cases} 0, n = 2m - 1, m \in \mathbb{Z}^+ \\ (-1)^m \dbinom{2m}{m}, n = 2m, m \in \mathbb{Z}^+ \end{cases}\)。
\(\mathcal{Sol:}\) 分奇偶两类证明。
- 若 \(n = 2m - 1, m \in \mathbb{Z}^+\)，即 \(n\) 为奇数。则可知 \((-1)^k = -(-1)^{n - k}, k \in [0, n]\)。又因为 \(\dbinom {n} {k} = \dbinom {n} {n - k}, k \in [0, n]\)，所以原式可化为 \({\large \sum \limits_{k = 0}^{\lfloor \frac {n} {2} \rfloor}} (-1)^k \dbinom {n} {k} ^2 + (-1)^{n - k} \dbinom {n} {n - k} ^2\)， 即 \({\large \sum \limits_{k = 0}^{\lfloor \frac {n} {2} \rfloor}} (-1)^k \dbinom {n} {k} ^2 - (-1)^k \dbinom {n} {k} ^2\)，这显然等于 \(0\)。
- 若 \(n = 2m, m \in \mathbb{Z}^+\)，即 \(n\) 为偶数。skipped.
Task 7
\(\mathcal{Prob:}\) 求出等于下列表达式的二项式系数（组合数）：\(\dbinom {n} {k} + 3 \dbinom {n} {k - 1} + 3 \dbinom {n} {k - 2} + \dbinom {n} {k - 3}。\)
\(Sol:\) 原式可化为 \(\dbinom {3} {0} \dbinom {n} {k} + \dbinom {3} {1} \dbinom {n} {k - 1} + \dbinom {3} {2} \dbinom {n} {k - 2} + \dbinom {3} {3}\dbinom {n} {k - 3}\)。
Task 8
\(\mathcal{Prob:}\) 证明：\(\dbinom {r} {k} = \dfrac {r} {r - k} \dbinom {r - 1} {k}, r \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}, r \neq k\)。
\(\mathcal{Sol:}\)
Task 9
\(\mathcal{Prob:}\) 求和：\(1 - \dfrac {1} {2} \dbinom {n} {1} + \dfrac {1} {3} \dbinom {n} {2} - \dfrac {1} {4} \dbinom {n} {3} + \dots + (-1)^n \dfrac {1} {n + 1} \dbinom {n} {n}\)。
\(\mathcal{Sol:}\)
标签：dbinom,limits,sum,Solution,large,恒等式,mathcal,二项式,个球 来源： https://www.cnblogs.com/Chain-Forward-Star/p/15558334.html