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第五章 留数及其应用

作者:互联网

文章目录

1. 孤立奇点

1.1 零点

定义
若 f ( z 0 ) = 0 f(z_0) =0 f(z0​)=0,则 z = z 0 z=z_0 z=z0​为f(z)的零点
若 f ( z ) = ( z − z 0 ) m ϕ ( z ) f(z)=(z-z_0)^m \phi(z) f(z)=(z−z0​)mϕ(z), ϕ ( z ) \phi(z) ϕ(z)在 z 0 z_0 z0​处解析且值不为0,则 z = z 0 z=z_0 z=z0​为f(z)的m阶零点

1.1.1 判断零点阶数

方法1: 求导
f ( m ) ( z 0 ) = 0 f^{(m)}(z_0) = 0 f(m)(z0​)=0
方法二:级数展开提取公因式 ( z − z 0 ) (z-z_0) (z−z0​)
f ( z ) = ( z − z 0 ) m ϕ ( z ) f(z)=(z-z_0)^m \phi(z) f(z)=(z−z0​)mϕ(z)

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1.2 孤立奇点

定义
设 z 0 z_0 z0​为f(z)的奇点,其存在 δ > 0 \delta >0 δ>0,使得f(z)在去心领域 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<∣z−z0​∣<δ内解析

1.2.1 孤立节点的分类

定义
若 z 0 z_0 z0​为f(z)的孤立奇点,将f(z)在 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<∣z−z0​∣<δ内展开为洛朗级数
f ( z ) = ∑ − ∞ + ∞ ( z − z 0 ) n f(z) = \sum_{-\infty}^{+\infty}(z-z_0)^n f(z)=−∞∑+∞​(z−z0​)n

(1)可去奇点
若 ∀ n < 0 , a n = 0 \forall n <0,a_n=0 ∀n<0,an​=0,则为可去奇点(解析)
判定方法:
lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = c \lim_{z \to z_0} f(z) = c z→z0​lim​f(z)=c

(2)N阶极点
若f(z)含N个负幂次项 a n ( n < 0 ) a_n(n<0) an​(n<0),则 z 0 z_0 z0​称为f(z)的N阶极点
当N=1时, z 0 z_0 z0​为f(z)的简单极点
判定方法
lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = ∞ f ( z ) = 1 ( z − z 0 ) N ( a − N + a − N + 1 ( z − z 0 ) + ⋯   ) \lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \\ f(z) = \frac{1}{(z-z_0)^N}(a_{-N}+a_{-N+1}(z-z_0)+\cdots) z→z0​lim​f(z)=∞f(z)=(z−z0​)N1​(a−N​+a−N+1​(z−z0​)+⋯)

(3)本性奇点
若 ∀ N < 0 , ∃ n < N , a n ≠ 0 \forall N <0, \exist n <N,a_n \neq 0 ∀N<0,∃n<N,an​​=0(即含无限个负幂次项),则 z 0 z_0 z0​称为f(z)的本性奇点
判定方法
lim ⁡ z → z 0 f ( z ) 不 存 在 \lim_{z \to z_0} f(z) 不存在 z→z0​lim​f(z)不存在
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1.3 判定极点的阶数[12]

若 f ( z ) = ϕ ( z ) ψ ( z ) = ( z − z 0 ) m ϕ 1 ( z ) ( z − z 0 ) n ψ 1 ( z ) f(z)=\frac{\phi(z)}{\psi(z)}=\frac{(z-z_0)^m \phi_1(z)}{(z-z_0)^n\psi_1(z)} f(z)=ψ(z)ϕ(z)​=(z−z0​)nψ1​(z)(z−z0​)mϕ1​(z)​,则:
(1)当 m >= n时, z 0 z_0 z0​为f(z)的可去奇点
(2)当 m < n时, z 0 z_0 z0​为f(z)的(n-m)阶极点
可以通过洛朗级数转换判定奇点类型
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2. 留数

2.1 留数的概念

定义
∮ f ( z ) d z = ⋯ + ∮ a − 1 z − z 0 + ⋯ R e s [ f ( z ) , z 0 ] = a − 1 = 1 2 π i ∮ f ( z ) d z \oint f(z)dz = \cdots + \oint \frac{a_{-1}}{z-z_0}+\cdots \\ Res[f(z),z_0] = a_{-1} = \frac{1}{2 \pi i} \oint f(z)dz ∮f(z)dz=⋯+∮z−z0​a−1​​+⋯Res[f(z),z0​]=a−1​=2πi1​∮f(z)dz

2.2 留数的计算方法[13]

1. 可去奇点
a − 1 = 0 a_{-1} = 0 a−1​=0
2. 本性奇点
a − 1 = a n = 1 2 π i ∮ f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z = f ( n ) ( z 0 ) n ! a_{-1} = a_n = \frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} a−1​=an​=2πi1​∮(z−z0​)n+1f(z)​dz=n!f(n)(z0​)​
3. M阶极点
a − 1 = 1 ( m − 1 ) ! lim ⁡ z → z 0 [ ( z − z 0 ) m f ( z ) ] ( m − 1 ) a_{-1} = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0}[(z-z_0)^mf(z)]^{(m-1)} a−1​=(m−1)!1​z→z0​lim​[(z−z0​)mf(z)](m−1)
当M=1,为简单极点时:
a − 1 = lim ⁡ z → z 0 [ ( z − z 0 ) f ( z ) ] a_{-1} = \lim_{z \to z_0}[(z-z_0)f(z)] a−1​=z→z0​lim​[(z−z0​)f(z)]
当 f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} f(z)=Q(z)P(z)​时:
R e s ( f ( z ) , z 0 ) = P ( z 0 ) Q ′ ( z 0 ) Res(f(z),z_0)=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} Res(f(z),z0​)=Q′(z0​)P(z0​)​
步骤
① 判断级数类型
② 带入公式求留数
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来源: https://blog.csdn.net/koulongxin123/article/details/121319849