CF623E Transforming Sequence 题解

传送门

【分析】

不难想到，令 \(f_{n, k}\) 表示前 \(n\) 个数，使得 \(b_n\) 有 \(k\) 个 \(1\) 的方案数

则很容易列出转移方程，由于 \(a_i>0\) ，故 \(\displaystyle f_{n, k}=\sum_{i=0}^{k-1} \binom k if_{n-1, i}\cdot 2^i\)

变形得到 \(\displaystyle {f_{n, k}\over k!}x^k=\sum_{i+j=k} {f_{n-1,i}\cdot 2^i\over i!}x^i\cdot {[j>0]\over j!}x^j\)

因此得到生成函数的转移关系 \(\displaystyle \hat F_{n}(x)=\hat F_{n-1}(2x)\cdot (e^x-1)\)

而由 \(f_{0, k}=[k=0]\) 得到 \(\hat F_0(x)=1\)

列举几项得到 \(\hat F_1(x)=e^x-1, \hat F_2(x)=(e^{2x}-1)(e^x-1), \hat F_3(x)=(e^{4x}-1)(e^{2x}-1)(e^x-1)\)

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