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中点法推导直线(0＜m＜1)决策参数，并表示与Bresenham里的参数相同

作者：互联网

基本变量定义

P1, P2 为要画线段的起终点，P1 = (x1, y1),P2 = (x2, y2)
∆x = x2-x1, ∆y = y2-y1,
m代表直线斜率0<m<1, m = ∆y/∆x
直线议程 y = mx+b

Bresenham 推导过程

在这里插入图片描述

假 设 当 前 已 经 画 到 点 P c ( x k , y k ) , 则 下 一 个 点 只 有 2 种 可 能 ( x k + 1 , y k ) 或 ( x k + 1 , y k + 1 ) y 是 直 线 上 x k + 1 所 对 应 实 际 的 坐 标 y = m ( x k + 1 ) + b 令 d u p p e r = y k + 1 − y = y k + 1 − m ( x k + 1 ) − b d l o w e r = y − y k = m ( x k + 1 ) + b − y k d l o w e r − d u p p e r = 2 m ( x k + 1 ) − 2 y k + 2 b − 1 p k 是 决 策 参 数 令 p k = ∆ x ( d l o w e r − d u p p e r ) , 由 于 m = ∆ y / ∆ x , 代 入 式 子 p k = 2 ∆ y ( x k + 1 ) − 2 ∆ x ∗ y k + 2 ∆ x ∗ b − ∆ x = 2 ∆ y ∗ x k − 2 ∆ x ∗ y k + 2 ∆ y + ∆ x ( 2 b − 1 ) 当 p k < 0 时 ， 说 明 y k 离 y 更 近 ， 就 取 y k ; 否 则 ， y k + 1 离 y 更 近 ， 取 y k + 1. 假设当前已经画到点 Pc(x_k, y_k), 则下一个点只有2种可能(x_k+1, y_k) 或(x_k+1, y_k+1)\\ y 是直线上x_k+1 所对应实际的坐标\\y=m (x_k+1)+b\\ 令d_{upper} = y_k+1 - y = y_k+1-m(x_k+1)-b\\d_{lower} = y-y_k = m (x_k+1)+b-y_k \\ d_{lower}-d_{upper} = 2m(x_k+1)-2y_k+2b-1\\ p_k是决策参数 \\ 令p_k = ∆x(d_{lower}-d_{upper}), 由于m = ∆y/∆x , 代入式子\\p_k = 2∆y(x_k+1)-2∆x*y_k+2∆x*b-∆x \\ = 2∆y*x_k-2∆x*y_k+2∆y+∆x(2b-1)\\当p_k<0时，说明y_k离y更近，就取y_k; 否则，y_k+1离y更近，取y_k+1. 假设当前已经画到点Pc(xk​,yk​),则下一个点只有2种可能(xk​+1,yk​)或(xk​+1,yk​+1)y是直线上xk​+1所对应实际的坐标y=m(xk​+1)+b令dupper​=yk​+1−y=yk​+1−m(xk​+1)−bdlower​=y−yk​=m(xk​+1)+b−yk​dlower​−dupper​=2m(xk​+1)−2yk​+2b−1pk​是决策参数令pk​=∆x(dlower​−dupper​),由于m=∆y/∆x,代入式子pk​=2∆y(xk​+1)−2∆x∗yk​+2∆x∗b−∆x=2∆y∗xk​−2∆x∗yk​+2∆y+∆x(2b−1)当pk​<0时，说明yk​离y更近，就取yk​;否则，yk​+1离y更近，取yk​+1.
到此为止我们已经得到下一个点的决策参数。只要依次计算就可以得到所线上的坐标。但是pk的计算中有很多乘法，比较耗时，我们可以通过步进法将其转化成加法来做。具体如下：
将 x k + 1 , y k + 1 代 入 式 子 ， 可 得 到 p k + 1 = 2 ∆ y ( x k + 1 ) − 2 ∆ x ∗ y k + 1 + 2 ∆ x ∗ b − ∆ x x k + 1 = x k + 1 则 p k + 1 − p k = 2 ∆ y − 2 ∆ x ( y k + 1 − y k ) 移 项 得 p k + 1 = p k + 2 ∆ y − 2 ∆ x ( y k + 1 − y k ) , 这 样 我 们 就 得 到 p k 的 递 推 式 。 p k + 1 = p k + 2 ∆ y + { − 2 ∆ x , p k > = 0 0 , p k < 0 上 述 算 法 中 2 ∆ x , 2 ∆ y 都 可 以 事 先 算 好 ， 后 续 只 要 用 到 加 法 即 可 将x_{k+1}, y_{k+1}代入式子，可得到\\p_{k+1}=2∆y(x_{k+1})-2∆x*y_{k+1}+2∆x*b-∆x \\ x_{k+1}=x_k+1则p_{k+1}-p_k = 2∆y-2∆x(y_{k+1}-y_k) \\移项得 p_{k+1} =p_k+ 2∆y-2∆x(y_{k+1}-y_k), \\ 这样我们就得到p_k的递推式。\\ p_{k+1} =p_k+ 2∆y+\begin{cases} -2∆x, p_k>=0\\ 0, p_k<0\end{cases}\\上述算法中2∆x, 2∆y都可以事先算好，后续只要用到加法即可 将xk+1​,yk+1​代入式子，可得到pk+1​=2∆y(xk+1​)−2∆x∗yk+1​+2∆x∗b−∆xxk+1​=xk​+1则pk+1​−pk​=2∆y−2∆x(yk+1​−yk​)移项得pk+1​=pk​+2∆y−2∆x(yk+1​−yk​),这样我们就得到pk​的递推式。pk+1​=pk​+2∆y+{−2∆x,pk​>=00,pk​<0​上述算法中2∆x,2∆y都可以事先算好，后续只要用到加法即可
p0计算
将 ( x 0 , y 0 ) 代 入 p k 表 达 式 得 ： p 0 = 2 ∆ y ∗ x 0 − 2 ∆ x ∗ y 0 + 2 ∆ y + ∆ x ( 2 b − 1 ) 又 因 为 y 0 = m ∗ x 0 + b = ∆ y / ∆ x ∗ x 0 + b , 代 入 上 式 得 ： p 0 = 2 ∆ y ∗ x 0 − 2 ∆ x ∗ ( ∆ y / ∆ x ∗ x 0 + b ) + 2 ∆ y + ∆ x ( 2 b − 1 ) = 2 ∆ y ∗ x 0 − 2 ∆ y ∗ x 0 − 2 ∆ x ∗ b + 2 ∆ y + ∆ x ( 2 b − 1 ) = 2 ∆ y − ∆ x 将(x_0,y_0)代入p_k表达式得：\\ p_0 = 2∆y*x_0-2∆x*y_0+2∆y+∆x(2b-1) \\ 又因为 y_0 = m*x_0+b= ∆y/∆x*x_0+b, 代入上式得：\\ p_0 = 2∆y*x_0-2∆x*(∆y/∆x*x_0+b)+2∆y+∆x(2b-1) \\=2∆y*x_0-2∆y*x_0-2∆x*b+2∆y+∆x(2b-1)\\ = 2∆y-∆x 将(x0​,y0​)代入pk​表达式得：p0​=2∆y∗x0​−2∆x∗y0​+2∆y+∆x(2b−1)又因为y0​=m∗x0​+b=∆y/∆x∗x0​+b,代入上式得：p0​=2∆y∗x0​−2∆x∗(∆y/∆x∗x0​+b)+2∆y+∆x(2b−1)=2∆y∗x0​−2∆y∗x0​−2∆x∗b+2∆y+∆x(2b−1)=2∆y−∆x

上述只是讲了0<m<1的算法，对于-1<m<0可以直接对称过去。
对于|m|>1的情况可以把x,y 互换。
对于m=0, 无穷大的情况也适用。

代码实现

#include "glew/2.2.0_1/include/GL/glew.h"
#include "glfw/3.3.4/include/GLFW/glfw3.h"
#include <iostream>
using namespace std;


void key_callback(GLFWwindow* window, int key, int scancode, int action, int mode)
{
    //如果按下ESC，把windowShouldClose设置为True，外面的循环会关闭应用
    if(key==GLFW_KEY_ESCAPE && action == GLFW_PRESS)
        glfwSetWindowShouldClose(window, GL_TRUE);
    std::cout<<"ESC"<<mode;
}



class Point {
public:
    int x, y;
    Point(int xx, int yy):x(xx), y(yy){}
};

void setPixel(Point p) {
    // cout<<p.x<<","<<p.y<<endl;
    glBegin(GL_POINTS);
    glVertex2i(p.x, p.y);
    glEnd();
    glFlush();
}


/*
 * 简单Bresenham 算法
 * 只处理|m|>1
 */
void LineBres_2(Point p1, Point p2) {
	// 保持从下往上画
    if(p2.y<p1.y) {
        Point t = p2;
        p2=p1;
        p1=t;
    }

    int deltaX = abs(p2.x-p1.x), deltaY = abs(p2.y-p1.y);
    int p0 = 2*deltaX-deltaY;
    int twDeltaX = 2*deltaX, twDeltaXmTwoDeltaY = 2*deltaX-2*deltaY;
    int step = 0;
    if(deltaX>0) step = (p2.x-p1.x) / deltaX;
    setPixel(p1);
    for (; p1.y < p2.y;) {
        p1.y++;
        if(p0<0) {
            p0+=twDeltaX;
        } else {
            p0+=twDeltaXmTwoDeltaY;
            p1.x+=step;
        }
        setPixel(p1);
        cout<<p1.x<<","<<p1.y<<endl;
    }

}

/*
 * 简单Bresenham 算法
 * 只处理|m|<=1
 */
void LineBres_1(Point p1, Point p2) {
	// 保持从左到右画
    if(p2.x<p1.x) {
        Point t = p2;
        p2=p1;
        p1=t;
    }

    int deltaX = abs(p2.x-p1.x), deltaY = abs(p2.y-p1.y);
    if(deltaX<deltaY) {
        LineBres_2(p1, p2);
        return;
    }
    int p0 = 2*deltaY-deltaX;
    int twDeltaY = 2*deltaY, twDeltaYmTwoDeltaX = 2*deltaY-2*deltaX;
    int step = 0;
    if(deltaY>0) step = (p2.y-p1.y) / deltaY;
    setPixel(p1);
    for (; p1.x < p2.x;) {
        p1.x++;
        if(p0<0) {
            p0+=twDeltaY;
        } else {
            p0+=twDeltaYmTwoDeltaX;
            p1.y+=step;
        }
        setPixel(p1);
        cout<<p1.x<<","<<p1.y<<endl;
    }

}


int main(void) {
    //初始化GLFW库
    if (!glfwInit())
        return -1;
    //创建窗口以及上下文
    GLFWwindow *window = glfwCreateWindow(400, 400, "hello world", NULL, NULL);
    if (!window) {
        //创建失败会返回NULL
        glfwTerminate();
    }

    //建立当前窗口的上下文
    glfwMakeContextCurrent(window);

    glfwSetKeyCallback(window, key_callback); //注册回调函数
    //glViewport(0, 0, 400, 400);
    gluOrtho2D(-200, 200.0, -200, 200.0);
    //循环，直到用户关闭窗口
    cout<<123<<endl;
    while (!glfwWindowShouldClose(window)) {
        /*******轮询事件*******/
        glfwPollEvents();
        // cout<<456<<endl;
        //选择清空的颜色RGBA
        glClearColor(0, 0, 0, 1);
        glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
        // glColor3f(0,0, 0);
        glMatrixMode(GL_PROJECTION);

        LineBres_1(Point(0,0),Point(100,70));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(100,-70));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(70,100));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(-70,100));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(-100,70));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(-70,-100));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(-100,-70));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(70,-100));

        LineBres_1(Point(0,0),Point(0,100));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(0,-100));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(100,0));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(-100,0));
        LineBres_1(Point(0,0),Point(0,0));



        /******交换缓冲区，更新window上的内容******/
        glfwSwapBuffers(window);
        //break;
    }
    glfwTerminate();
    return 0;
}

未完待续。。。。

标签：p2,p1,中点法,Bresenham,参数,2b,y0,x0,include
来源： https://blog.csdn.net/chenbb1989/article/details/121266158