随机变量

定义

一般地，随机变量是从 Ω \Omega Ω（样本空间）到实数域上的函数。

累积分布函数

F ( x ) = P ( X ≤ x ) , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) F(x) = P(X\leq x),x\in(-∞,∞) F(x)=P(X≤x),x∈(−∞,∞)

离散随机变量

是只取有限值或至多可列无限值的随机变量。

一般地，能与整数集形成一一对应的集合就是可列无限集。

伯努利随机变量

频率函数为：
p ( 1 ) = p p ( 0 ) = 1 − p p ( x ) = 0 ( x ≠ 0 , 1 ) p(1) = p\\ p(0) = 1-p\\ p(x) = 0(x\neq0,1) p(1)=pp(0)=1−pp(x)=0(x​=0,1)

二项分布

假设进行 n n n 次独立实验，每次实验成功的概率为 p p p，失败的概率为 1 − p 1-p 1−p，那么成功的次数 X X X 参数为 n , p n,p n,p 的二项随机变量。

p ( k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k p(k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} p(k)=Cnk​pk(1−p)n−k

泊松分布

泊松分布多出现在当 X X X 表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。

当 n n n 较大， p p p 较小时，泊松频率函数可以用来近似二项概率。

参数为 λ \lambda λ 的泊松频率函数为：

p ( k ) = λ k k ! e − λ p(k) = \frac{\lambda ^ k}{k!}e^{-\lambda} p(k)=k!λk​e−λ

推导

考察时间段 [ 0 , 1 ) [0, 1) [0,1) 事件 A A A 发生的次数 X X X。

我们将时间段均匀划分为 n n n 段，并假定对于每个时间段，事件 A A A 恰好发生一次的概率与 1 / n 1/n 1/n 成正比，设 p = λ / n p = \lambda/n p=λ/n。

因为 p p p 是很小的，所以我们可以将长度为 1 / n 1/n 1/n 的时间段发生事件 A A A 次数大于 1 1 1 的概率看作是 0 0 0。

那么 X X X 显然是服从参数为 ( n , p ) (n, p) (n,p) 的二项分布的（记为 X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n, p) X∼B(n,p)），因此有

p ( k ) = C n k ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k p(k) = C_n^k (\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} p(k)=Cnk​(nλ​)k(1−nλ​)n−k

当 n → ∞ n\to ∞ n→∞ 时，

C n k n k = 1 k ! ( 1 − λ n ) n − k = e − λ \frac{C_n^k}{n^k} = \frac{1}{k!} \\ (1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} = e^{-\lambda} nkCnk​​=k!1​(1−nλ​)n−k=e−λ

故 p ( k ) = λ k k ! e − λ p(k) = \frac{\lambda ^ k}{k!}e^{-\lambda} p(k)=k!λk​e−λ。

连续随机变量

密度函数

对于连续随机变量，频率函数被密度函数 f ( x ) f(x) f(x) 取代，密度函数具有性质：

f ( x ) ≥ 0 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 f(x) \geq 0 \\ \int_{-∞}^∞ f(x)dx = 1 f(x)≥0∫−∞∞​f(x)dx=1

如果 X X X 是具有密度函数 f f f 的随机变量，那么它落在 ( a , b ) (a, b) (a,b) 的概率为：

P ( a < x < b ) = ∫ a b f ( x ) d x P(a<x<b) = \int_a^bf(x)dx P(a<x<b)=∫ab​f(x)dx

均匀密度

一般地，区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的均匀密度是：
f ( x ) = { 1 a − b x ∈ [ a , b ] 0 其 它 f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a-b} & x\in [a, b]\\ 0 & 其它 \end{cases} f(x)={a−b1​0​x∈[a,b]其它​

指数密度

指数分布常用来刻画生命周期或等待时间。

密度函数为：
f ( x ) = { λ e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0 \end{cases} f(x)={λe−λx0​x≥0x<0​
分布函数为：
F ( x ) = { 1 − e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0 \end{cases} F(x)={1−e−λx0​x≥0x<0​

推导

假定事件 A A A 是无记忆性的，以无记忆性的元件寿命为例，这意味着从 0 0 0 时刻开始至少存活到到 t t t 时刻的概率等于 s s s 时刻开始至少存活至 s + t s+t s+t 时刻的概率是相等的。

有了这个假定，我们从 0 0 0 时刻开始考察，假设事件 A A A 未发生，时刻 Δ T \Delta T ΔT 发生的概率为 p = λ Δ T p = \lambda \Delta T p=λΔT。

记事件 A A A 在时刻 x x x 发生的概率密度为 f ( x ) f(x) f(x)，那么事件 A A A 在时刻 x x x 发生（之前不发生）的概率为：

f ( x ) Δ T = ( 1 − p ) x / Δ T − 1 p f(x)\Delta T = (1-p)^{x/\Delta T -1}p f(x)ΔT=(1−p)x/ΔT−1p

因此 f ( x ) = lim ⁡ Δ T → 0 ( 1 − λ Δ T ) x / Δ T − 1 λ = λ e − λ x f(x) = \lim_{\Delta T\to 0}(1-\lambda\Delta T)^{x/\Delta T-1}\lambda = \lambda e^{-\lambda x} f(x)=limΔT→0​(1−λΔT)x/ΔT−1λ=λe−λx

正态分布

f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ,   x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) , μ ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ,   σ ∈ ( 0 , + ∞ ) f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},~x\in(-\infty, +\infty),\mu \in(-\infty,+\infty),~\sigma\in(0,+\infty) f(x)=2π ​σ1​e−2σ2(x−μ)2​, x∈(−∞,+∞),μ∈(−∞,+∞), σ∈(0,+∞)

μ \mu μ 称为均值， σ \sigma σ 称为标准差。

推导很复杂的样子 qwq，待补。

随机变量的函数

X X X 为具有密度为 f X ( x ) f_X(x) fX​(x) 的随机变量，随机变量 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)（其中 g g g 可微并在区间 I I I 上单调），那么 f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) ∣ d g − 1 ( y ) d y ∣ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}| fY​(y)=fX​(g−1(y))∣dydg−1(y)​∣

推导

不妨设 g g g 单调递增。

F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( g ( X ) ≤ y ) = P ( X ≤ g − 1 ( y ) ) = F X ( g − 1 ( y ) ) F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(g(X)\leq y) = P(X\leq g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y)) FY​(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≤g−1(y))=FX​(g−1(y))，对 y y y 求导即得：

f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) d g − 1 ( y ) d y f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \frac{dg^{-1}(y)}{dy} fY​(y)=fX​(g−1(y))dydg−1(y)​

g g g 单调递减的情况完全类似，有 f Y ( y ) = − f X ( g − 1 ( y ) ) d g − 1 ( y ) d y f_Y(y) = -f_X(g^{-1}(y)) \frac{dg^{-1}(y)}{dy} fY​(y)=−fX​(g−1(y))dydg−1(y)​

故我们统一写成 f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) ∣ d g − 1 ( y ) d y ∣ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}| fY​(y)=fX​(g−1(y))∣dydg−1(y)​∣。

标签：概率,frac,函数,Delta,概率论,随机变量,lambda
来源： https://blog.csdn.net/melon_sama/article/details/121232868