ABC226F Score of Permutations
作者:互联网
ABC226F Score of Permutations
Statement
F - Score of Permutations (atcoder.jp)
Solution
我们可以想到连边 \(i\to p_i\)
那么每一个点有出度 \(1\) ,最后显然会形成若干个环
于是,容易知道一个环的答案是它的长度,总的答案就是这若干个环长的 \(lcm\)
暴力枚举排列显然会炸掉,考虑 DP
设 \(dp[i][j]\) 表示使用 \(i\) 个点,现在形成的若干个环的 \(lcm=j\) ,的方案数,那么
\[dp[i+j][lcm^{\prime}=Lcm(lcm,j)]=\sum dp[i][lcm]*(j-1)!*\binom{n-i-1}{j-1} \]即已经有 \(i\) 个点,新加入了一个 \(j\) 个点的环,对于环内的第一个点,下一个点有 \(j-1\) 种选择,\(\dots\) 。
那为什么是 \(\binom{n-i-1}{j-1}\) 而不是 \(\binom{n-i}{j}\) ? 考虑以下两种选法:
![](https://www.icode9.com/i/l/?n=20&i=blog/2221225/202111/2221225-20211109102726119-252936603.png)
橙色表示先选,蓝色后选,但是实际上两者是一样的
所以我们每次选环的时候强制让起点是当前最小的一个点,即提前拿出一个点作为起点,所以需要 \(-1\)
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod = 998244353;
int read(){
int s=0,w=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
map<int,int>dp[55];
int jc[55];
int n,k,ans;
int ksm(int a,int b){
int res=1;
while(b)((b&1)&&(res=res*a%mod,1)),a=a*a%mod,b>>=1;
return res;
}
int C(int n,int m){
return jc[n]*ksm(jc[m],mod-2)%mod*ksm(jc[n-m],mod-2)%mod;
}
int gcd(int n,int m){return m?gcd(m,n%m):n;}
int lcm(int n,int m){return n/gcd(n,m)*m;}
signed main(){
n=read(),k=read();
for(int i=jc[0]=1;i<=n;++i)
jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
dp[0][1]=1;
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=1;i+j<=n;++j)
for(auto v:dp[i])
(dp[i+j][lcm(v.first,j)]+=v.second*jc[j-1]%mod*C(n-i-1,j-1)%mod)%=mod;
for(auto v:dp[n])
(ans+=v.second*ksm(v.first,k)%mod)%=mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
标签:ch,int,res,Permutations,jc,ABC226F,Score,lcm,mod 来源: https://www.cnblogs.com/wyb-sen/p/15526395.html