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0-1背包问题

作者：互联网

0-1背包问题

给定n个物品和一个背包，物品\(i\)\((1\le i \le n )\) 的重量为\(w_i\) ,其价值为\(v_i\) ,背包容量为c ,对每种物品只有两种选择：装入背包或者不装。如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？

问题理解

刚开始是我不是很理解这个容量是什么意思，我以为是能装多少个物品的意思，事实上这个容量的意思是，这个背包所能过装的最大重量。

所以，这个题目的意思是，我这个背包只能装这么重的东西，我要怎么装，才能让我带走的东西价值最高。

思想

暴力

我们可以这么想，我们这些物品的子集全部找出来，然后再找出这些子集中重量和不超过c 的，然后从中找到价值最大的子集，然后这个子集上的东西就是我要带走的东西了。
但是，我们分析一下就会知道，对于n个物品，它的子集个数为\(2^n\) ，也就是说，它是呈指数趋势增长的，如果我们的物品很多，那这样产生的子集巨多，我们还按照上面的想法去干显然很呆。

动态规划

然后，老师教我们用动态规划去做，名词听起来就高级，然而我并不能理解动态规划是个什么思想，但这并不影响我去做这道题。也许学多一点以后就会知道了吧。那下面说一下我理解的思路：

我们把这些物品的重量用一个数组存起来，记为\(w[i]\)

把它们对应的价值也用一个数组存起来，记为\(v[i]\)

先找出最大价值是多少

那下面我们先不考虑选哪些物品的问题，先找出这个最大的价值。

我们这样子定义val(i,j) ,它表示将i 个物品装入容量为j 的背包所获得的最大价值，至于装哪些东西进背包才能获得最大价值，这就需要我们进行决策了。很明显，这是我们01背包问题的一个子问题。我们假设前i-1个物品已经决策好了，现在来决策第i个物品，那我们现在是不是就只要考虑要不要把i 装入背包就行了？如果把它装入背包后的价值变大，那我自然是把它装进来呀，是吧。好，那么我们写一下在第i 个位置的决策情况,我们来分析装和不装的情况下的价值：

  1. 如果当前剩余的容量\(<w[i]\),不能装入，当前价值等于前i-1 个物品决策出来的价值，即\(val(i-1,j)\)
  2. 如果剩余容量\(>w[i]\)，我可以有装入i 和不装这两种选择，我选哪种呢？那肯定做出价值大的那个选择。如果不装的话，当前价值就是：\(val(i,j)=val(i-1,j)\) ,也就是当前价值等于前i-1 个物品决策出来的价值。如果选的话，那\(val(i,j)=val(i-1,j-w[i])+v[i]\) ,那当前价值相当于把前i-1个物品装入j-w[i] 容量的价值加上这个物品的价值。然后我们取上面两种情况中价值大的作为决策依据。

也就是说，对第i 个物品决策时，我的价值的情况如下：

好，那我现在得到一条递推式了，我自然而然的就可以推出第i+1 个物品在背包剩余容量已知的情况下的最佳决策，第i+2个物品的在背包剩余容量已知的情况下的最佳决策········一直可以推出，有n 个物品，已知背包剩余容量为c 的情况下的最佳决策，也就是最大价值，这是不是也就解决了我的问题？

其实还有一个问题没有解决，那就是我上面这条公式的起始情况是什么？

不难发现，当我们决策第1 个物品时，我们要依赖前0个物品的决策结果，那我们来看第0个物品怎么决策的，现在有0个物品，要把它们装进容量为j 的背包，怎样装才能价值最大？显然无论怎么装，价值都是0。

还有类似的，我有i 个物品，把它们装入到容量为0的背包，价值当然也是0。那么，起始情况如下：

val(0,j)=0;
val(i,0)=0;

那由上面的递推关系，我们就可以求得\(val(n,c)\)的值了。

判断那些物品被装入了背包

上面我们的到了决策的最大价值，那下面我们来看看到底那些物品被我们装入了背包：

我们回顾上面的内容，我们会发现，对于每一个val(i,j)的值，我是不是都可以通过前一个物品的决策结果得到，也就是说，对于每一个val(i,j) ，我是不是都要存着，方便下一个物品决策时参考？那我们用一个二维数组来存它们就刚刚好。

那经过上面那些决策，我们的二维数组val[n+1][c+1]是不是就已经填好了？注意了，我这里数组大小为什么是n+1和c+1 ,因为我们上面把第0个物品和背包容量为0，都算作正常情况，那0个物品也算作一种情况。当然，你也可以把它看作是一种初始化，我这么讲是为了方便理解。

好，那我的二维表已经填好了。那我们来判断第i 个物品有没有装入到背包中，那我们是不是可以比较一下前i-1个物品在背包容量为j时决策所得的价值和前i 个物品在同种情况下的价值大小？如果val(i,j)=val(i-1,j)是不是说明，第i个物体没有被装入背包啊,因为如果装入的话，它的价值应该是比前一个大的。那么，我从后往前推是不是就可以判断出哪些物品被装入了背包，哪些没有？那到此为止，问题就解决了。

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n, c;
    cin >> n >> c;
    int w[n], v[n];
    int val[n + 1][c + 1];
    memset(val, 0, sizeof(val));         //val(0,j)=val(i,0)=0，这里全初始化为0了
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= c; j++) {
            if (j < w[i])
                val[i][j] = val[i - 1][j];
            else
                val[i][j] = max(val[i - 1][j], val[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    int x[n];
    for (int j = c, i = n; i > 0; i--) {
        if (val[i][j] > val[i - 1][j]) {
            x[i] = 1;
            j = j - w[i];      //判断被装入了，减掉它的容量，用于判断前面的物体是否被装入
        } else
            x[i] = 0;
    }
    cout << val[n][c] << endl;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << x[i] << " ";
    }
    return 0;
}

时间复杂度

主要算那个二重循环那里，时间复杂度就是： \(O(n*c)\)

相关题目

在acwing 上，我刚好看到一道01背包的简单题，和上面的题目一样。感觉懂了的话可以去当作练习试一下，题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/2/

参考内容

链接：https://space.bilibili.com/501486236?spm_id_from=333.788.b_765f7570696e666f.1

特别感谢这个老师的讲解，让我理解了背包问题的解决过程，如果看不懂这篇博客的话，可以去看看这个视频

总结

  1. 经过这篇博客的写作，我好像有一点理解动态规划是个什么概念了，大概就是当前的决策问题要依靠前面的决策结果才能作出决策，然后通过递推关系式能够得到最终的结果，这个好像又有点像递归，有点分不清。我想大概思想就是尽可能地利用中间过程的结果为下一步决策。具体的还没有搞懂。
  2. 虽然有点理解背包问题了，但是用文字描述出来总感觉怪怪的，好像就是有点表达不清楚的样子，尤其是推最大价值那部分。希望以后能进一步改进一下，有大佬理解的话还希望能够点拨一下，万分感谢。
  3. 在编码过程中要注意对数据进行初始化，不然会有你意想不到的结果，还有就是数组不要越界，这同样会发生不可预估的错误。在定义和使用w[n]和v[n]以及val[n+1][c+1]时尤其要注意，从+1 这个操作应该就会想到了。

标签：背包,val,装入,决策,问题,物品,价值
来源： https://www.cnblogs.com/yongcheng137blogs/p/15527166.html