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Operator与优化

作者:互联网

Relation

关系这个词跟映射有点相似,对于一个关系\(R\),其是\((x, y)\)的一个集合集合。其中\(\text{dom }R=\{x|(x,y)\in R\}\),\(R(x)=\{y\vert (x,y)\in R\}\),其零集合是\(\{x| (x,y)\in R, y=0\}\)。

Operations on Relation

通过以上的运算可以看出,relation有点类似于凸函数中epigraph的那种集合定义。

Monotone Operations

对于一个单调的relation \(F\),其定义为

\[(u-v)^T(x-y)\geq 0 \]

对于任意的\((x, y), (u,v)\in R\). 一个最大单调\(F\)的定义为,没有其他单调relation包含\(F\)。

\(F\)是最大单调当且仅当\(F\)是一个连接的曲线,其斜率不存在负值。

Case: Subgradient \(F=\partial f(x)\)

Nonexpansive and contractive operator

对于一个\(L-\)Lipschitz连续的operator \(F\),其nonexpansive和contraction的定义分别为\(L=1\)和\(L<1\)。

Characters:

Resolvent operation and Cayley operator

对于一个relation \(F\),当\(F\)是单调且nonexpansive时,\(R\) operator是contractive的。\(F\)的cayley operator定义为

\[C=2R-I=2(I+\lambda F)^{-1}-I \]

同样当F是单调的时候,其cayley operator \(C\)是nonexpansive。

Proof:

Case:

Proximal

promial

Indicator

Fixed point of operators & zero set of \(F\)

这里有个很重要的定理就是Cayleyresolvent的Fixed point等价于\(F\) relation的zero set。也就是

\[F(x)\in 0 \Leftrightarrow C(x)=x \Leftrightarrow R(x)=x \]

Theorem: Banach fixed point theorem

当\(F\)是contraction,dom \(F=R^n\),那么\(F(x)\)会收敛到一个唯一的fixed point。

Damped iteration of a nonexpansive operator

相对于

\[x^{k+1}=F(x^k) \]

Damped iteration为一个\(x^k\)和\(F(x^k)\)的组合

\[x^{k+1} = \theta^k x^k+(1-\theta^k)F(x^k) \]

Proof:

Case:

Operator Splitting

这里要解决的问题是一个relation \(F=A+B\),单独队\(F\)进行求解可能比较麻烦而分开对\(A\)和\(B\)求解更简单。

Theorem: 如果A和B是maximal monotone,那么

\[0\in A(x)+B(x) \Leftrightarrow C_AC_B(z)=z \]

其中\(x=R_B(z)\)

Proof:

证明也是比较简单,使用定义就可以得到。

Peaceman-Rachford & Douglas-Rachfold Splitting

\[\begin{align} &\text{Peaceman-Rachford}:\qquad z^{k+1}=C_AC_B(z^k)\\ &\text{Douglas-Rachfold}:\qquad z^{k+1}=\frac 1 2(I+C_AC_B)(z^k)\\ \end{align} \]

Douglas-Rachfold updating

The last equation:

Case: Alternating direction method of multipliers

Case: Constrained optimization

Consensus Optimization

参考资料

标签:Case,nonexpansive,vert,operator,relation,Operator,优化,单调
来源: https://www.cnblogs.com/DemonHunter/p/15522570.html