二分图学习笔记

不会

定义

设非空无向图 \(G=(V,E)\)。

边独立集/匹配：取边集 \(E(G)\) 的非空子集 \(M\)，若 \(M\) 中任意两条边都不相邻（即没有公共点），则称 \(M\) 为 \(G\) 的一个边独立集。
极大边独立集：对于 \(M\)，若加入任何一条边 \((u,v)\in E(G)\setminus M\) 后得到的边集 \(M'\) 不再是边独立集，则称 \(M\) 为极大边独立集。

最大边独立集/最大匹配：含有最大边数的边独立集；也可以定义为：若对于 \(G\) 任意的匹配 \(M'\)，均有 \(|M'| \leqslant |M|\)，则称 \(M\) 为最大匹配。

边独立数/匹配数：最大边独立集所含边数，记作 \(\alpha(G)\)。

完备/完美 匹配：若边独立集 \(M\) 内的边连接的点组成的点集 \(V'=V\)，则称 \(M\) 为完美匹配。

\(\texttt{Hungarian}\) (匈牙利)算法

增广路：对于图 \(G\) 的匹配 \(M\),我们称 \((u,v)\in M\) 的边为实边，\((u,v)\notin M\) 的边为虚边，则一条从一个未匹配点出发，经过虚边，实边，虚边...实边，虚边并在一个未匹配点结束的路径为增广路。

增广路的特点是非匹配边一定比匹配边多恰好 \(1\) 条，将增广路“取反”，即匹配边变为非匹配边，非匹配边变为匹配边，可以得到一个比先前匹配数增大 \(1\) 的匹配，因此不断的寻找增广路，可以不断地增加匹配。

P3386 【模板】二分图最大匹配

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=505;
int n,m,e;
int edge[maxn][maxn]; // 邻接矩阵表示的图
bool vis[maxn]; // 每个顶点是否已在增广路中
int mx[maxn],my[maxn]; // 与该顶点匹配的另一集合中的顶点
bool dfs(int now) { // now始终是x集合内的点
	for(int nxt=1;nxt<=m;++nxt)
	if(edge[now][nxt] && !vis[nxt]) {
		vis[nxt]=true;
		if(!mx[nxt] || dfs(mx[nxt])) {
			my[now]=nxt; mx[nxt]=now;
			return true;
		}
	}
	return false;
}
inline int Hungarian() {
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	if(!my[i]) {
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		ans+=dfs(i);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m>>e;
	for(int x,y,i=1;i<=e;++i) {
		cin>>x>>y;
		edge[x][y]=1;
	}
	cout<<Hungarian()<<endl;
	return 0;
}

标签：二分,匹配,增广,int,独立,笔记,学习,maxn,虚边
来源： https://www.cnblogs.com/yangrunxuan/p/15517892.html