《商务与经济统计》笔记第六章
作者：互联网
《商务与经济统计》笔记第六章
连续型概率分布
重要的三种连续型概率分布：均匀分布、正态分布、指数分布
离散型概率分布和连续型概率分布的根本区别在于：二者在概率计算上是不同的。对于一个离散型概率分布，概率函数f(x)给出了随机变量x取某个特定值的概率。而连续型随机变量，与概率函数对应的是概率密度函数，也记作f(x)。
不同的是，概率密度函数并没有直接给出概率。但是，给定区间上曲线f(x)下的面积是连续型随机变量在该区间取值的概率。
这种对概率的定义意味着连续型随机变量取某一特定值的概率为0。
在处理连续型随机变量时，不再讨论随机变量取某一特定值的概率，而是讨论随机变量在某一给定区间上取值的概率。
6.1 均匀概率分布
均匀概率密度函数：
f ( x ) = { 0 1 b − a , a ⩽ x ⩽ b f\left( x \right) = \left\{ {_{_0^{_{}^{}}}^{\frac{1}{{b - a}},a \leqslant x \leqslant b}} \right. f(x)={0b−a1,a⩽x⩽b
用面积度量概率。
连续型均匀概率分布的数学期望和方差：
数学期望：
E ( x ) = a + b 2 E\left( x \right) = \frac{{a + b}}{2} E(x)=2a+b
方差：
V a r ( x ) = ( b − a ) 2 12 Var\left( x \right) = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{12}} Var(x)=12(b−a)2
6.2 正态概率分布
6.2.1 正态曲线
正态分布的概率密度函数是一条钟形曲线：
正态概率密度函数：
f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - \frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} f(x)=2π σ1e−2σ2(x−μ)2
式中：μ为均值，σ为标准差，
正态分布具有以下特征：
- 正态分布族中的每个分布因均值μ和标准差σ这两个参数的不同而不同；
- 正态曲线的最高点在均值处达到，均值还是分布的中位数和众数；
- 分布的均值可以是任意数值：负数、零、正数
- 正态分布时对称的；偏度为0；
- 标准差决定曲线的宽度和平坦程度。标准差越大曲线越宽、越平坦，表明数据有更大的变异性。
- 正态随机变量的概率由正态曲线下的面积给出；
- 一些常用区间取值的百分比：
68.3%的值在均值加减一个标准差的范围内；
95.4%的值在均值加减两个标准差的范围内；
99.7%的值在均值加减三个标准差的范围内；
6.2.2 标准正态概率分布
如果一个随机变量服从均值为0且标准差为1的正态分布，则称该随机变量服从标准正态分布。
标准正态密度函数：
f ( z ) = 1 2 π e − ( z ) 2 2 f\left( z \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{{\left( z \right)}^2}}}{2}}} f(z)=2π 1e−2(z)2
结合标准正态概率表，查z值，计算概率。
6.2.3 计算正态分布的概率
所有正态分布的概率都可以利用标准正态分布来计算。
转换为标准正态随机变量：
z = x − μ σ z = \frac{{x - \mu }}{\sigma } z=σx−μ
可以看出，z是以x的标准差为度量单位的正态随机变量x与其均值μ之间的距离。
6.3 二项概率的正态近似
在
n
p
⩾
5
np \geqslant 5
np⩾5 和
n
(
1
−
p
)
⩾
5
n\left( {1 - p} \right) \geqslant 5
n(1−p)⩾5的情况下，正态分布是对二项分布的一个简便易行的近似。
当使用正态分布近似二项分布时，正态曲线中取
μ
=
n
p
\mu = np
μ=np 和
σ
=
n
p
(
1
−
p
)
\sigma = \sqrt {np\left( {1 - p} \right)}
σ=np(1−p)
。
连续性校正因子：
举例说明：为了对恰好有12次成功的二项概率进行近似，我们必须计算11.5和12.5之间正态曲线下的面积。其中11.5和12.5是将12加减0.5得到的，我们称0.5为连续性校正因子。
6.4 指数概率分布
指数概率分布可用于描述诸如到达某洗车处的两辆车的时间间隔，装在一辆卡车所需时间，高速公路上两起重大事故发生地之间的距离等随机变量。
指数概率密度函数：
f ( x ) = 1 μ e − x μ , x ⩾ 0 f\left( x \right) = \frac{1}{\mu }{e^{ - \frac{x}{\mu }}},x \geqslant 0 f(x)=μ1e−μx,x⩾0
6.4.1 计算指数分布的概率
指数分布：累积概率
P ( x ⩽ x 0 ) = 1 − e − x 0 μ P\left( {x \leqslant {x_0}} \right) = 1 - {e^{ - \frac{{{x_0}}}{\mu }}} P(x⩽x0)=1−e−μx0
6.4.2 泊松分布和指数分布的关系
前面提到，泊松分布的概率函数如下：
f ( x ) = μ x e − μ x ! f\left( x \right) = \frac{{{\mu ^x}{e^{ - \mu }}}}{{x!}} f(x)=x!μxe−μ
连续型指数概率分布与离散型泊松分布是相关联系的，泊松分布描述了每一区间中事件发生的次数，指数分布描述了事件发生的时间间隔长度。
举例说明：
假定在一个小时当中到达某一洗车处的汽车数可以用泊松分布描述，其均值为每小时10辆。
泊松概率函数给出了每小时有x辆汽车到达的概率：
f ( x ) = 10 x e − 10 x ! f\left( x \right) = \frac{{{{10}^x}{e^{ - 10}}}}{{x!}} f(x)=x!10xe−10
由于车辆到达的平均数是每小时10辆，则两车到达的时间间隔的均值为：0.1小时/辆
于是描述两车到达的的时间间隔的对应分布是指数分布，其均值为μ=0.1小时/辆，从而指数概率密度函数为：
f ( x ) = 1 0.1 e − x 0.1 f\left( x \right) = \frac{1}{{0.1}}{e^{ - \frac{x}{{0.1}}}} f(x)=0.11e−0.1x = 10 e − 10 x = 10{e^{ - 10x}} =10e−10x
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