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量子力学基础-1

2021-10-29 17:36:13 作者：互联网

1. 狄拉克符号

1.1 基矢

$|0 \rang = \binom{1}{0}$ $|1\rang = \binom{0}{1}$

$\lang 0| = (1~0)$ $\lang 1| = (0~1)$

1.2 态矢

$| \psi \rangle = a|0\rangle + b|1\rangle$

$\lang \psi| = |\psi \rang ^{\dagger} = \Big( \left(|\psi \rang \right)^* \Big)^T = \Big( \left(|\psi \rang \right)^T \Big)^* = a^* \lang0| + b^*\lang1|$

共轭，转置顺序可以互换.

2. 内积

$\lang \varphi | \psi \rang = \lang \varphi || \psi \rang = | \varphi \rang^ \dagger |\psi\rang$ ，也可以表示为 $( | \varphi \rang, |\psi \rang)$

内积的性质：

(1) $(\cdot~, \cdot)$ 对第二个变量是线性的，即
$(|v\rang, \sum_{i}\lambda_i|w_i\rang) = \sum_i \lambda_i(|v\rang, |w_i\rang)$
(2) $\lang \varphi| \psi \rang = \Big(\lang \psi| \varphi \rang \Big)^*$
推导如下：
$\lang \varphi | \psi \rang = \lang \varphi|| \psi \rang = | \varphi\rang^ \dagger |\psi\rang$
$\lang \psi| \varphi \rang = \lang \psi|| \varphi \rang = | \psi\rang^ \dagger |\varphi\rang$
$\Big(\lang \psi| \varphi \rang \Big)^* = \Big(| \psi\rang^ \dagger |\varphi\rang \Big)^* = |\psi\rang^T |\varphi\rang^* = (|\varphi\rang^*)^T |\psi\rang = | \varphi\rang^ \dagger |\psi\rang$.

(3) 内积非负，当且仅当$|v\rang=0$ 时取等号.
$\lang i|j \rang = \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1~~~i=j \\ 0~~~~i\neq j \end{matrix}\right.$

3. 算符

3.1 线性算符

$A(|a\rang+|b\rang) = A|a\rang+A|b\rang$

$A(z|a\rang = zA|a\rang$

3.2 特殊算符

恒等算符$I$ $I|a\rang = |a\rang$

零算符0 $0|a\rang = 0$

3.3 本征值和本征矢

$A|v\rang = \lambda|v\rang$ $|v\rang 是 A 的本征矢量，\lambda 是相应的本征值.$

如何求得本征值和本征矢量：

(1) $A|v\rang =\lambda|v\rang = \lambda I |v\rang (I是等同算符)$

(2) $(A-\lambda I）|v\rang = 0$

(3) $|A-\lambda I| = 0$，解得 $\lambda$，带入$(A-\lambda I）|v\rang = 0$，可求得 $|v\rang$.

3.4 对易关系

$[A, B] = AB-BA$，若$[A, B] = 0, 即 AB=BA，则称A与B是对易的.$

$\{A, B\} = AB+BA$，若${A, B} = 0, 即 AB=-BA，则称A与B是反对易的.$

3.5 厄米算符

$A = A^\dagger$，则$A$ 是厄米算符. （类似对称矩阵，$A=A^T$）

$(AB)^{\dagger} = B^{\dagger} A^\dagger$

推导：$(AB)^\dagger = ((AB)^*)^T) = ((AB)^T)^*) = (B^{T}A^T)^* = ((B^T)^*)((A^T)^*) = B^{\dagger}A^\dagger$

厄米算符的本征值是实数.

3.6 外积算符

$态矢 |u\rang自身的外积是 |u\rang \lang u|$.

3.7 投影算符

设空间 $V$ 是$n$维， $|i\rang (i=1,2,\cdots, n)$ 是空间$V$ 的一组正交规一基，定义投影算符
$P=\sum_{1}^{m}|i\rang\lang i|~~~~(i=1,2,\cdots,m),~~m\leq n$
各个 $|i\rang~(i=1,2,\cdots,m)$ 构成 $V$ 的子空间 $M$. 投影算符$P$作用于空间V中的任一态矢$|w\rang$相当于求取$|w\rang$ 在子空间 $M$ 中的分量. 显然，
(1). 当 $m =n$时，子空间$M$亦即原来的空间 $V$. $V$ 中任何态矢 $|w\rang$ 在 $V$中的投影显然就是 $|w\rang$ 本身，故
$\sum_1^n |i\rang\lang i|w\rang = |w\rang$
$\sum_1^n |i\rang\lang i | = I$, $I$ 是$n$ 阶等同算符.

(2). 当 $m<n$ 时，$|w \rang$ 是空间 $V$ 中的任意态矢，$P|w \rang = \sum_1^m|i\rang \lang i|w\rang = |v\rang$ 是在 $M$中， $|v\rang$ 在$M$ 中的投影是 $|v\rang$ 自身, 故
$\left\{\begin{matrix} P(P|w\rang)= P|w\rang = |v\rang \\ P=P^2=P^3= \cdots \end{matrix}\right.$

3.8 对角化及谱分解

$A=\sum \lambda_i |i\rang \lang i | (i = 1,2, \cdots, n) = O = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$

其中，$\lambda_i$ 是本征值，$|i\rang$ 是对应的本征向量.

算符 $A$ 能够对角化的充要条件是 $A$ 是一个正规算符(normal operator)，即 $AA^\dagger = A^{\dagger}A$.
$A 能够对角化 \Longleftrightarrow AA^\dagger = A^{\dagger}A$

3.9 幺正算符

幺正算符，也叫酉算符. $U^\dagger = U^{-1}$，即 $U^{\dagger}U = I$. (类似正交矩阵 $AA^T = I$，$A^T = A^{-1}$)

幺正算符的性质：

(1) 空间中任意两个矢量经幺正变换后内积保持不变.

推导如下：

变换前的两个矢量，$|s\rang$ 和$|t\rang$，其内积为$\lang s|t \rang$.

以幺正算符作用于$|s\rang$ 和$|t\rang$ 后，$U|s\rang$ 和$U|t\rang$，其内积为 $\Big(U|s\rang, U|t\rang \Big) = \lang s|U^{\dagger} U|t\rang = \lang s|I|t\rang = \lang s|(I|t\rang) = \lang s|t\rang$.

(2) 正交规一基经过幺正变换后变为另一组正交归一基.

设$|u_i\rang(i=1,2,\cdots,n)$ 是一组正交规一基，$U$ 是幺正变换，$U|u_i\rang = |w_i\rang$，可得
$\lang w_i|w_j \rang = \lang u_i| U^\dagger U | u_j \rang = \lang u_i | u_j \rang = \delta_{ij}$
反之，若 $|u_i\rang$ 和 $|w_i\rang$ 是两组归一正交基，则它们之间的变换是幺正变换. 即，$A|u_i\rang = |w_i\rang$, A是幺正变换.

推导如下：

假设 $A|u_i\rang = |w_i \rang$，证明 $A$ 是幺正算符.

$A^\dagger = \sum_i |u_i\rang \lang w_i|$

$A^{\dagger}A = \sum_i |u_i\rang \lang w_i| \sum_j |w_j \rang \lang u_j| = \sum_i \sum_j |u_i\rang \lang w_i|w_j \rang \lang u_j| = \sum_i |u_i\rang \lang u_i| = I$.

上式中 $I $ 是恒等算符，故 $A$ 是幺正算符.

(3) 幺正算符的本征值都以1为模数，亦即可表示为$e^{i\theta}$， $\theta$ 是个实数.

3.10 泡利算符

$\sigma_0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\sigma_ 1= \sigma_x = X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2= \sigma_y = Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ $\sigma_3= \sigma_z = Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

泡利算符既是厄米算符，又是幺正算符，即$\sigma = \sigma^\dagger = \sigma^{-1}$.

标签：lang,rang,psi,dagger,量子力学,sum,基础,varphi
来源： https://www.cnblogs.com/one2Four/p/15478632.html