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概率论与数理统计-数理统计基础（一）

2021-10-28 16:59:11 作者：互联网

前面关于概率的内容总结的很少，因为老师在给我们上课的时候根据专业特点很快就进入了数理统计的内容，这个内容会详细一点。

一、总体与样本

研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为样本。总体一般指研究对象的某个指标。总体中个体的数量称为样本容量，容量有限则称为有限总体，容量无限则称为无线总体。在我们研究一个样本容量较大的总体时，不可能一个一个个体取观测，这时只有采取抽样的方式进行研究。抽样n次相当于对总体随机变量进行n次观测，每次观测都看作一个随机变量，共有 $X_{1},X_{2}...X_{n}$ ,观测完成后得到 $x_{1},x_{2}...x_{n}$ 个观测值。在得到的这n个随机变量中，有两个性质(1) $X_{1},X_{2}...X_{n}$ 是相互独立的。(2) $X_{1},X_{2}...X_{n}$ 服从与随机变量相同的分布。

若总体的分布函数为 $F(x)$ ，则随机变量 $X_{1},X_{2}...X_{n}$ 的联合分布函数为 $F(x_{1},x_{2}...x_{n})$ = $\prod_{i=1}^{n}$ $F(x_{i})$ 。若X为离散型随机变量，其分布律为 $p(x)=p(X=x)$ ，则其 $X_{1},X_{2}...X_{n}$ 的联合分布律为 $p(x_{1},x_{2}...x_{n})$ $=\prod_{i=1}^{n}p(x_{i})$ 。若X为连续型随机变量，其概率密度为 $f(x)$ ，则其联合概率密度为 $f(x_{1},x_{2}...x_{n})$ $=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i})$ 。

二、统计量

在得到的n个样本中， $g(X_{1},X_{2}...X_{n})$ 为样本的函数，若该函数中不含有未知量，则该样本函数为统计量。常见统计量如下：

(1)样本均值 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ ，这里涉及一个较重要的公式，假设有随机变量X服从正态分布， $X\sim (\mu ,\sigma ^{2})$ ，现有n个随机样本 $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ ，则 $\bar{X}\sim (\mu ,\frac{\sigma 2}{n})$ ,则 $\frac{\bar{X-\mu }}{\sigma /\sqrt{n}}\sim (0,1)$

(2)样本方差 $S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$

(3)样本的k阶原点矩 $A_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{k} k=1,2,3...$

(4)样本的k阶中心矩 $B_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{k}$

常用统计量的性质如下：

（1） $E(X)=E(\bar{X})=\mu$

(2) $D(\bar{X})=\frac{\sigma ^{2}}{n}$

(3) $E(S^{2})=\frac{1}{n-1}E[\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}]=\frac{1}{n-1}[nEX_{i}^{2}-n\bar{EX^{2}}]=\frac{n}{n-1}(\sigma ^{2}+\mu ^{2}-\frac{\sigma ^{2}}{n}-\mu ^{2})=\sigma ^{2}$

三、三大分布

$\chi ^{^{2}}$ 分布

设随机变量 $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ 服从标准正态分布，则称 $\chi ^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+...+X_{n}^{2}$ 服从自由度为n的 $\chi ^{2}$ 分布。记为 $\chi ^{2}\sim \chi ^{2}(n)$ .

$E(\chi ^{2})=n$ , $D(\chi ^{2})=2n$

$\chi _{1}^{2}\sim \chi ^{2}(n)$ , $\chi _{2}^{2}\sim \chi ^{2}(m)$ 则 $\chi _{1}^{2}+\chi _{2}^{2}\sim \chi ^{2}(m+n)$

$t$ 分布

设随机变量X服从标准正态分布，随机变量Y服从 $\chi ^{2}$ 分布，则称 $t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为n的t分布。

$F$ 分布

设 $X\sim \chi ^{2}(m)$ , $Y\sim \chi ^{2}(n)$ ,则 $F=\frac{X/m}{Y/n}$ 服从F分布，记为 $F\sim F(m,n)$

(1) $t\sim F(1,m)$

(2) $F(m,n)=\frac{1}{F(n,m)}$

(3) $F_{1-\alpha }(n,m)=\frac{1}{F(m,n)}$

四、几个非常重要的结论

假设 $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ 服从正态分布 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ , $\bar{X}$ 与 $S^{2}$ 分别为样本的均值与方差。则

（1） $\frac{\bar{X-\mu }}{\sigma /\sqrt{n}}\sim (0,1)$

(2) $\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_{i}-\mu }{\sigma })^{2}\sim \chi ^{2}(n)$

(3) $\sum_{i=1}^{n}(\frac{X_{i}-\bar{X}}{\sigma })^{2}\sim \chi ^{2}(n-1)$ (= $(n-1)S^{2}/\sigma ^{2}$ )

(4) $\frac{\frac{X-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}/(n-1)}=\frac{X-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

标签：总体,样本,服从,基础,数理统计,分布,概率论,随机变量,正态分布
来源： https://blog.csdn.net/weixin_52535931/article/details/121001411