821数据结构简答题例题

1、证明：对于一个无向图 G=（V,E），若 G中各顶点的度均大于或等于 2，则 G中必有回路。

证1：（简答方法）若G中没有回路，则必有叶子节点（即度为1的节点），这与G中顶点度均大于等于2矛盾，所以G中必有回路。
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证2：
反证：如果G中不存在回路,则必有一个节点的度为1。
可以说明：任意找一个节点，开始遍历，那么最终会访问到一个叶子节点。
任何一个访问到的节点u，存在以下3种情况：
（1）是叶子节点（证明结束）；
（2）存在节点v，v尚未被访问，且边(u,v)存在，则继续访问v；
（3）任何与u有边相连的节点都已经被访问，这种情况会构成回路（与假设矛盾,证明结束）。
因为节点个数有限，所以只有有限次可能会落入情况2，随着遍历的进行，必然会落入情况1和3。
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证3：
假设该图无环，那么图G中存在一条最长路径P，设起点为vs，终点为v；
考察v的邻点，易知v的所有邻点都在P上，否则，若u是v的一个不在P上的邻点，则最长路径为P+(vu)，与最长路径为P矛盾；
由于G中每个顶点的度都大于等于2，故v存在一个顶点x，x在P上，但x与v在P上不相邻，此时路xPv与vx的并就是一个回路。

2、在冒泡排序过程中，什么情况下关键码会朝向与排序相反方向移动，试举例说明。

当待排序序列后面的若干关键码比前面的关键码小的时候，在冒泡排序过程中，关键码会朝向与排序相反方向移动。
比如待排序序列4,3,2,1
第一趟：3,2,1,4
第二趟：2,1,3,4
第三趟：1,2,3,4
其中，第一趟中3朝向其排序反方向，第二趟中2朝向其排序反方向。

标签：例题,朝向,简答题,关键码,访问,回路,排序,821,节点
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