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AcWing 900. 整数划分

2021-10-25 11:31:07 作者：互联网

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一、解题思路

把整数$n$看成一个容量为$n$的背包，有$n$种物品，物品的体积分别是$1-n$,我们要求的是恰好装满背包的方案数(计数)，每种物品可以用无限次，所以可以看成是一个完全背包。

先考虑二维的:

$f[i,j]$：从前$i$中选，总体积恰好是$j$的选法,值就是方案数量。

(1)第$i$个物品选择了0个
$f[i-1,j]$
含义：在前$i$个物品中选择，结果现在第$i$个物品选择了0个，就是说这$j$ 个体积都是前$i-1$贡献的。

(2)第i个物品选择了1个
$f[i-1,j-1 * i]$ 第i个物品，体积就是i,后面的$j-1 * i $是指减少了$1*i$这么大的体积。

含义：在前$ i $个物品中选择，结果现在第$i$个物品选择了1个，就是说这 $ j-1 $ 个体积都是前$i-1$贡献的。

(3)第$i$个物品选择了2个
$f[i-1,j-2*i]$

...
(4)第$i$个物品选择了s个
$f[i-1,j-s*i]$

初值问题
求最大值时，当都不选时，价值显然是 0
而求方案数时，当都不选时，方案数是 1（即前 i 个物品都不选的情况也是一种方案），所以需要初始化为 1
即：

for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;

可以理解为从$0-n$中去选，填充到一个空间为0的背包里，方案数只有一个，就是啥都不要。
等价变形后：

f[0] = 1

推导的朴素算法公式：
总共的时间复杂度是$n^2log_n$，也是可以过的。
$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2 * i]+...+f[i-1][j-s * i]$

但这样做的话，不可避免要使用三层循环（最里层用于遍历$s * i$）,我们再来继续优化一下,采用和背包问题一样的优化思路：
$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2 * i]+...+f[i-1][j-s * i]$
$f[i][j-i]=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2 * i]+...+f[i-1][j-s * i]$

注意：
上面如果直接套公式，同学们可能会认为还有最后一项$f[i-1][j- (s+1) * i]$ ,其实是没有的，因为在现实世界里，$j$能最多包含的是 $ s * i $个体积，不可能达到$f[i-1][j- (s+1) * i]$,这个要从现实出发，不要只看上面的数学表达式。

优化为
$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]$

二维的朴素作法

// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;

int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        f[i][0] = 1; // 容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= n; j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] % mod; // 特殊 f[0][0] = 1
            if (j >= i) f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - i]) % mod;
        }
    }

    cout << f[n][n] << endl;
}

继续优化，和完全背包一样，把第一维优化掉，只需要把第二层循环从小到大即可。
$f[j]=f[j]+f[j-1]$

一维的作法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
const int MOD = 1e9 + 7;
int f[N];
int n;

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    f[0] = 1; // 容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = i; j <= n; j++)  //完全背包从小到大，01背包从大到小
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % MOD;
    printf("%d", f[n]);
    return 0;
}

标签：900,背包,int,整数,选择,体积,物品,优化,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15457657.html