Miller–Rabin素数判断法

Miller–Rabin素数判断法是一种时间复杂度较优的算法，期望时间复杂度为O（logN)。但本身是一种不确定算法，存在误把合数判断为质数的可能。

算法原理介绍：

因此，对一个即将被判断的数n，判断步骤如下。

1. 先用定理1进行判断，即判断是否成立。
   如上式不成立，则n必不是质数，判断完毕。
2. 如上式成立，且n-1为偶数，则运用定理2，判断是否成立。
   如上式不成立，则n必不是质数，判断完毕。
3. 如2式依旧成立，且结果为1，同时 为偶数，则重复步骤2。直到
   (1).不为偶数，或者结果为n-1，则该次判断无法证明n是合数。
   (2).结果既不为1也不为n-1，则n是合数。

从上述过程可知，Miller–Rabin素数判断法是一种不稳定的判断法，无法直接判定是否为质数，但当底数a选择合理并经多次判断，则判断错误的概率将非常小。

下面是节选自维基百科的选取 a 的方式。

当 N<4,759,123,141，选取 a=2,7,61即可确保算法得出正确结果。

当 N<3,825,123,056,546,413,051≈3∗10^18，选取a=2,3,5,7,11,13,17,19,23即可确保算法得出正确结果。

当 N<18,446,744,073,709,551,616=2^64 ，选取 a=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37即可确保算法得出正确结果。

代码如下：以Loj 143为例：

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
inline ll mul(ll a,ll b,ll p){
	ll ans=(ld)a*b/p;
	return ((a*b-ans*p)%p+p)%p;
} 
inline ll power(ll a,ll b,ll p){
	ll ans=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1) ans=mul(ans,a,p);
		a=mul(a,a,p);
	}
	return ans;
}
ll pri[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
inline bool judge(ll x){
	for(register int i=0;i<=8;i++){
		if(pri[i]==x) return true;
		else if(pri[i]>x) return false;
		ll cnt=power(pri[i],x-1,x);
		if(cnt!=1) {
			return false;
		}
		else {
			ll now=x-1;
			while(now%2==0&&cnt==1){
				now/=2;
				cnt=power(pri[i],now,x);
				if(cnt!=1&&cnt!=x-1) {
			//		printf("1");
					return false;
				}		
			}
		}
	}
	return true;
}
int main(){
	ll n;
	while((scanf("%lld",&n))!=EOF){
		if(judge(n)) printf("Y\n");
		else printf("N\n");
	}
	return 0;
}

标签：cnt,判断,return,Miller,ll,素数,ans,质数,Rabin
来源： https://www.cnblogs.com/Azurestars/p/15455269.html