Chapter16：定积分
作者：互联网
Chapter16：定积分
16.定积分
16.1 基本思想
如果是速度-时间图，则面积表示位移，x轴上方为正向位移，x轴下方为反向位移
例子：
16.2 定积分的定义
最大区间 mesh 缩小的同时，其他区间也同步缩小
使用定积分的定义计算面积
划分区间
通常的分区
特殊化
这里每个区间长度都为
2
n
\frac{2}{n}
n2
所有长方形面积求和
f
(
x
)
=
x
2
c
j
=
2
n
j
x
j
=
2
n
j
x
j
−
1
=
2
n
(
j
−
1
)
f(x)=x^2\\ ~\\ c_j=\frac{2}{n}j \\ ~\\ x_j=\frac{2}{n}j\\ ~\\ x_{j-1}=\frac{2}{n}(j-1)
f(x)=x2 cj=n2j xj=n2j xj−1=n2(j−1)
∑
j
=
1
n
(
2
n
j
)
2
(
2
n
)
∑
j
=
1
n
(
4
n
2
j
2
)
(
2
n
)
=
∑
j
=
1
n
8
j
2
n
3
\sum_{j=1}^n(\frac{2}{n}j)^2(\frac{2}{n})\\ ~\\ \sum_{j=1}^n(\frac{4}{n^2}j^2)(\frac{2}{n})=\sum_{j=1}^n\frac{8j^2}{n^3}
j=1∑n(n2j)2(n2) j=1∑n(n24j2)(n2)=j=1∑nn38j2
lim
n
→
∞
8
n
2
+
6
n
+
4
3
n
2
=
lim
n
→
∞
8
n
2
+
6
n
+
4
n
2
3
n
2
3
n
2
=
8
3
\lim_{n \rightarrow\infty}\frac{8n^2+6n+4}{3n^2}=\lim_{n \rightarrow\infty}\frac{\frac{8n^2+6n+4}{n^2}}{\frac{3n^2}{3n^2}}=\frac{8}{3}
n→∞lim3n28n2+6n+4=n→∞lim3n23n2n28n2+6n+4=38
16.3 定积分的性质
16.3.1 性质一
区间端点数字左大右小，则区间长度 （ x j − x j − 1 ） （x_j-x_{j-1}） （xj−xj−1）为负数
即 x轴 正向朝左
x轴正向朝右
0
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
x
3
⋯
<
x
n
−
1
<
x
n
=
2
0=x_0\lt x_1 \lt x_2 \lt x_3 \cdots \lt x_{n-1} \lt x_n=2
0=x0<x1<x2<x3⋯<xn−1<xn=2
在 x轴正向朝右和正向朝左的两种情况直接进行积分，积分上下限调换，积分并取相反数
16.3.2 性质二
x = a x=a x=a到 x = a x=a x=a与曲线和 x轴 围成的面积为 0
16.3.3 性质三
16.3.4 性质四
16.3.5 性质五
16.4 求面积
16.4.0 积分符号的含义
小竖条的面积
y
d
x
ydx
ydx
在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 中划分更多如上图所示的竖条，则我们得到了一个面积近似值。
积分符号不仅是求和的含义，同时也要求所有小竖条的宽度(dx)趋于0（极限的方法）
16.4.1 求通常的面积（非有向面积）
定积分所处理的是定向面积
有向面积：
x轴上方面积为正
x轴下方面积为负
将函数取绝对值，将 x 轴下方的面积转移到 x 轴上方
求通常的面积的方法
- 找出 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内满足函数值为0的所有 x x x 值（函数值正负的分界）
- 假设找到一个 x x x 值，第一部分 [ a , x ] [a,x] [a,x]，第二部分 [ x , b ] [x,b] [x,b]
- 分别计算出两个积分
- 每个积分取绝对值，然后相加
16.4.2 求解两条曲线之间的面积
函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在整个区间内都在函数
g
(
x
)
g(x)
g(x) 的上方
在区间函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 有时在函数
g
(
x
)
g(x)
g(x) 的上方，有时在函数
g
(
x
)
g(x)
g(x) 的下方
使函数
f
(
x
)
=
g
(
x
)
f(x)=g(x)
f(x)=g(x)求出两个函数的交点，即可确定两个函数的相对位置（就上下而言）
16.4.3 求曲线与 y轴所围成的面积
如果 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，反函数是存在的，那么有 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y)
例子：
小横条面积
x
d
y
xdy
xdy
对区间进行划分，得到很多小横条，将这些小横条的面积相加，得到真实面积的近似值
0 < y < 2 ∫ 0 2 x d y y = x ， x = y 2 ∫ 0 2 y 2 d y 0\lt y \lt 2 \\ ~\\ \int_0^2xdy \\ ~\\ y=\sqrt{x}，x=y^2 \\ ~\\ \int_0^2y^2dy 0<y<2 ∫02xdy y=x ，x=y2 ∫02y2dy
16.5 估算积分
当一个函数一直都大于另一个函数，它的积分也一直大于另一个函数
一个简单的估算
16.6 积分的平均值和中值定理
16.6.1 积分的平均值
使用微分可以在已知某时间段位移的前提下求瞬时速度
使用积分可以在已知某时间段瞬时速度的前提下求位移
例子：
16.6.2 积分的中值定理
水平线
y
=
f
a
v
y=f_{av}
y=fav 与函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 有交点，我们将横坐标记为
c
c
c，所以有
f
(
c
)
=
f
a
v
f(c)=f_{av}
f(c)=fav
结论：如果函数
f
f
f 是连续的，那总会有一个数
c
c
c
之前的中值定理与这里的中值定理的不同
在任何一段旅途中，都有某一时刻的瞬时速度=平均速度
两者的不同之处在于：
- 前面的中值定理用位移-时间图像中的斜率来解释
- 后面的中值定理用速度-时间图像中的面积来解释
标签：frac,函数,积分,面积,16.4,Chapter16,16.3 来源： https://blog.csdn.net/weixin_48524215/article/details/120927520