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微分、差分和变分的概念

作者:互联网

作者:知乎用户
链接:https://www.zhihu.com/question/30416914/answer/77472961
 

微分:是当自变量x变化了一点点(dx)而导致了函数(f(x))变化了多少。

比如,国民收入Y=f(c),c是消费,那c变化了dc时,会导致Y变化多少呢?变化dY,这就是微分,而dY/dc就是这个单变量函数的导数。把微分dY视为dx的线性函数,那么导数就是这个线性函数的系数:注意,这个视角甚至可以推广到微分流形、泛函,等你以后深入学习到更高的层次就会知道,现代数学对于微分的认识是:算子“d”代表着从流形上的n-1-形式场到n-形式场的一种线性映射。这里作个解释:流形,你就理解为弯曲/扭曲空间,二维流形直观上你可以理解为曲面,但还是有区别,因为我们说曲面总是想着三维空间中的一张曲面,也就是说,我们默认是把曲面嵌入到三维欧式空间中去的,但流形意味着我们把曲面本身当作空间去研究。流形理论里的“微分”有很多很多:我们说的算子d叫外微分,除此之外还有协变微分/协变导数,李导数,等等。这里就不扯那么远了。

差分:粗糙地讲,就是离散化的微分,即[公式]y。当变化量很微小时,就近似看成dy。差分的概念还是比较初等的,高中就应该接触不少了。

变分:无限维空间上的微分,我们一般称之为Frechet微分,其实就是微分在无限维空间的推广(照搬)。Frechet微分作用于泛函就叫变分。这里就不扯什么泛函分析里的Banach空间微分理论了,简单说下,泛函是将函数空间(无限维空间)映射到域,就是,把一个函数映射成一个数。打个比方,从A点到B点有无数条路径,每一条路径都是一个函数吧?这无数条路径,每一条函数(路径)的长度都是一个数,对吧?那你从这无数个路径当中选一个路径最短或者最长的,这就是求泛函的极值问题。有一种老的叫法,函数空间的自变量我们称为宗量(自变函数),宗量变化了一点点而导致了泛函值变化了多少,这其实就是变分。变分,就是微分在函数空间的拓展,其精神内涵是一致的。求解泛函变分的方法主要有古典变分法、动态规划和最优控制

标签:流形,函数,路径,变分,泛函,差分,微分
来源: https://www.cnblogs.com/emanlee/p/15441488.html