「JOISC 2012」星座（凸包）

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题意

平面上有 \(n\) 个点，保证任意三点不共线。有黑白两种颜色，一些点已经确定了一种颜色，其余点的颜色尚未确定。

对于一种染色方案，我们可以进行若干次操作，每次可以在两个同色点之间连一条直线段，但是要保证连的线段互不相交（除了在端点处可以相交）。如果最后每种颜色的点都能形成生成树，那么称这种染色方案是合法的。问有多少种合法的染色方案，对 \(10^9 + 7\) 取模。

数据范围：\(n \le 2 \times 10^5\)。

分析

考虑染色方案合法的充要条件。考察点集的凸包：

情况 1：凸包上点的颜色全部相同。不妨设其为黑色，我们任取内部一个白色点，以它为中心对凸包做三角剖分。先不连任何边，对于每个顶点一白两黑（或一黑两白）的三角形进行递归构造：若三角形内至少有一个白点，那么把它和三角形的白色顶点连边，并递归剖分出的三个三角形；若内部全是黑点，直接全连上某个顶点即可。通过这种构造就能让黑点、白点联通。因此这种情况合法。

情况 2：凸包由一个黑色连续段和一个白色连续段构成。此时也可以把凸包剖分成若干个一白两黑或一黑两白的三角形，继续使用上述递归算法。因此这种情况也合法。

情况 3：凸包上有超过一个黑色连续段。不妨考虑有两个黑色连续段的情况，设黑色连续段为 \(A, B\)，白色连续段为 \(X, Y\)。那么 \(A, B\) 之间和 \(X, Y\) 之间都至少要连一条边，而这两条边一定会相交。因此这种情况不合法。

有了上述分析，接下来只要求出凸包，然后分类计数即可。

标签：黑色,颜色,染色,合法,JOISC,三角形,凸包,2012
来源： https://www.cnblogs.com/Alfalfa-w/p/15435009.html