多元统计分析01：多元统计分析基础
作者：互联网
Chapter 1：多元统计分析基础
一、随机向量
Part 1：随机向量的分布
联合分布函数：设 \(X=\left(X_1,X_2,\cdots,X_p\right)'\) 是一个 \(p\) 维随机向量，定义 \(p\) 元函数
\[F(x_1,x_2,\cdots,x_p)=P\left(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,\cdots,X_p\leq x_p\right) \ , \]称 \(F(x_1,x_2,\cdots,x_p)\) 为 \(X\) 的联合分布函数。
联合密度函数：如果存在一个 \(p\) 元非负函数 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_p)\) ，使得对一切 \((x_1,x_2,\cdots,x_p)\) 都有
\[F(x_1,x_2,\cdots,x_p)=\int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_2}\cdots \int_{-\infty}^{x_p}f(x_1,x_2,\cdots,x_p){\rm d}x_1{\rm d}x_2\cdots{\rm d}x_p \ , \]则称 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_p)\) 为 \(X\) 的联合密度函数。
边际密度函数：设 \(X^{(1)}\) 为 \(r\) 维随机向量，\(X^{(2)}\) 为 \(p-r\) 为随机向量，且 \(X^{(1)}\) 和 \(X^{(2)}\) 都是随机向量 \(X\) 的部分分量，满足
\[X=\left[\begin{array}{c} X^{(1)} \\ X^{(2)} \end{array}\right] \ , \]定义 \(X^{(1)}\) 的边际密度函数为
\[f_1(x^{(1)})=f_1(x_1,x_2,\cdots,x_r)=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2,\cdots,x_p){\rm d}x_{r+1}{\rm d}x_{r+2}\cdots{\rm d}x_p \ , \]定义 \(X^{(2)}\) 的边际密度函数为
\[f_2(x^{(2)})=f_2(x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_p)=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2,\cdots,x_p){\rm d}x_{1}{\rm d}x_{2}\cdots{\rm d}x_r \ . \]条件密度函数：当 \(X\) 的密度函数可以写为 \(f(x^{(1)},x^{(2)})\) 时，定义给定 \(X^{(2)}\) 时 \(X^{(1)}\) 的条件密度函数为
\[f_1(x^{(1)}|x^{(2)})=\frac{f(x^{(1)},x^{(2)})}{f_2(x^{(2)})} \ . \]分量的独立性：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_p\) 是 \(p\) 个随机变量，则 \(X_1,X_2,\cdots,X_p\) 相互独立当且仅当
\[F(x_1,x_2,\cdots,x_p)=F_1(x_1)F_2(x_2)\cdots F_p(x_p) \ . \]若 \(X=\left(X_1,X_2,\cdots,X_p\right)'\) 的联合密度函数及其各个分量的密度函数均存在，则 \(X_1,X_2,\cdots,X_p\) 相互独立当且仅当
\[f(x_1,x_2,\cdots,x_p)=f_1(x_1)f_2(x_2)\cdots f_p(x_p) \ . \]Part 2：随机向量的数字特征
随机向量的均值向量：设 \(X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)'\) 是一个 \(p\) 维随机向量，如果对 \(X\) 的任何分量 \(X_i\) 都有均值 \({\rm E}(X_i)=\mu_i\) 存在，则定义随机向量 \(X\) 的均值向量为
\[{\rm E}(X)=\left[\begin{array}{c} {\rm E}(X_1) \\ {\rm E}(X_2) \\ \vdots \\ {\rm E}(X_p) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mu_1 \\\mu_2 \\ \vdots \\ \mu_p\end{array}\right] \ . \]随机向量的协方差阵：设 \(X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)'\) 是一个 \(p\) 维随机向量，如果对 \(X\) 的任何两个分量 \(X_i\) 和 \(X_j\) 都有协方差 \({\rm Cov}(X_i,X_j)=\sigma_{ij}\) 存在，则定义随机向量 \(X\) 的协方差阵为
\[\begin{aligned} {\rm Var}(X)&={\rm E}\left[(X-{\rm E}(X))(X-{\rm E}(X))'\right] \\ \\ &=\left[\begin{array}{cccc} {\rm Cov}(X_1,X_1) & {\rm Cov}(X_1,X_2) & \cdots & {\rm Cov}(X_1,X_p) \\ {\rm Cov}(X_2,X_1) & {\rm Cov}(X_2,X_2) & \cdots & {\rm Cov}(X_2,X_p) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\rm Cov}(X_p,X_1) & {\rm Cov}(X_p,X_2) & \cdots & {\rm Cov}(X_p,X_p)\\ \end{array}\right] \ . \\ \\ &=\left(\sigma_{ij}\right)_{p\times p}\xlongequal{def}\Sigma \ . \end{aligned} \]随机向量的相关系数矩阵：设 \(X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)'\) 是一个 \(p\) 维随机向量，若 \(X\) 的协方差阵 \(\Sigma=\left(\sigma_{ij}\right)_{p\times p}\) 存在，则定义随机向量 \(X\) 的相关系数矩阵为：
\[R=\left[\begin{array}{cccc} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1p} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{p1} & r_{p2} & \cdots & r_{pp} \\ \end{array}\right]=\left(r_{ij}\right)_{p\times p} \ . \]其中
\[r_{ij}=\frac{{\rm Cov}(X_i,X_j)}{\displaystyle\sqrt{{\rm Var}(X_i){\rm Var}(X_j)}}=\frac{\sigma_{ij}}{\sqrt{\sigma_{ii}\sigma_{jj}}} \ . \]如果记 \(V^{1/2}={\rm diag}\left(\sqrt{\sigma_{11}},\sqrt{\sigma_{22}},\cdots,\sqrt{\sigma_{pp}}\right)\) 为 \(X\) 的标准差矩阵，则协方差阵和相关系数矩阵的关系为
\[\Sigma=V^{1/2}RV^{1/2} \ , \quad R=V^{-1/2}\Sigma V^{-1/2} \ . \]两个随机向量的协方差阵：设 \(X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)'\) 和 \(Y=(Y_1,Y_2,\cdots,Y_q)'\) 是两个随机向量，如果对 \(X\) 的任何分量 \(X_i\) 和 \(Y\) 的任何分量 \(Y_j\) 都有协方差 \({\rm Cov}(X_i,Y_j)=\sigma_{ij}\) 存在，则定义随机向量 \(X\) 和 \(Y\) 的协方差阵为
\[{\rm Cov}(X,Y)={\rm E}\left[(X-{\rm E}(X))(Y-{\rm E}(Y))'\right]=\left(\sigma_{ij}\right)_{p\times q} \ . \]如果 \({\rm Cov}(X,Y)=O_{p\times q}\) ，则称 \(X\) 和 \(Y\) 不相关。
Part 3：随机向量的数字特征的性质
关于线性变换的运算性质：设 \(X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)'\) 和 \(Y=(Y_1,Y_2,\cdots,Y_q)'\) 是两个随机向量，矩阵 \(A\) 和矩阵 \(B\) 是任意常数矩阵，则有
\[\begin{aligned} & {\rm E}(AX)=A{\rm E}(X) \ , \\ \\ & {\rm E}(AXB)=A{\rm E}(X)B \ , \\ \\ & {\rm Var}(AX)=A{\rm Var}(X)A' \ , \\ \\ & {\rm Cov}(AX,BY)=A{\rm Cov}(X,Y)B' \ . \end{aligned} \]独立包含不相关的性质：若 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，则一定有 \({\rm Cov}(X,Y)=O_{p\times q}\) 成立，反之不然。
协方差阵的对称非负定性：对任意的随机向量 \(X=(X_1,X_2,\cdots,X_p)'\) ，其协方差阵 \(\Sigma\) 是对称非负定矩阵，即对 \(\forall a\in \mathbb{R}^{p}\) ，有 \(a'\Sigma a={\rm Var}\left(a'X\right)\geq0\) 。
协方差阵的平方根性质：\(\Sigma=L^2\) ，其中 \(L\) 是非负定矩阵，当 \(\Sigma>0\) 时，则有 \(L>0\) ，此时将矩阵 \(L\) 称为 \(\Sigma\) 的平方根矩阵。如果将 \(\Sigma\) 正交分解为 \(\Sigma=\Gamma\Lambda\Gamma'\) ，其中 \(\Gamma\) 是正交矩阵，\(\Lambda\) 是 \(\Sigma\) 的特征值对角阵，则 \(\Sigma\) 的平方根矩阵 \(L=\Gamma\Lambda^{1/2}\Gamma'\) 。
二、矩阵代数
Part 1：正交矩阵
定义：设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，如果 \(A'A=AA'=I_n\) ，则称 \(A\) 为正交矩阵，且有 \(A^{-1}=A'\) 。
性质 1：设 \(A\) 为 \(n\) 阶正交矩阵，则 \(|A|=\pm1\) 。
因为 \(\left|AA'\right|=|I_n|=1\) ，又因为 \(\left|AA'\right|=|A|^2\) ，所以 \(|A|=\pm1\) 。
性质 2：若 \(A\) 为 \(n\) 阶正交矩阵，则 \(A',A^{-1}\) 也是正交矩阵。
因为 \(\left(A'\right)'\left(A'\right)=AA'=I_n\) ，所以 \(A'\) 是正交矩阵。
因为 \(A^{-1}=A'\) ，所以 \(A^{-1}\) 是正交矩阵。
性质 3：若 \(A\) 和 \(B\) 均为 \(n\) 阶正交矩阵，则 \(AB\) 和 \(BA\) 都是正交矩阵。
因为 \((AB)'(AB)=B'A'AB=B'B=I_n\) ，所以 \(AB\) 是正交矩阵。
因为 \((BA)'(BA)=A'B'BA=A'A=I_n\) ，所以 \(BA\) 是正交矩阵。
定义：设 \(Q\) 为 \(n\) 阶正交矩阵，则称线性变换 \(y=Qx\) 为一个正交变换。
性质 4：正交变换不改变向量的内积和长度，称为正交变换的不变性。
设 \(x_1\) 和 \(x_2\) 是任意两个 \(n\) 维向量，\(Q\) 是正交矩阵，若 \(y=Qx\) 是正交变换：
对于正交变换 \(y_1=Qx_1\) 和 \(y_2=Qx_2\) 的内积，有
\[y_1'y_2=(Qx_1)'(Qx_2)=x_1'Q'Qx_2=x_1'x_2 \ . \]对于正交变换 \(y_1=Qx_1\) 的长度，有
\[|y_1|=|Qx_1|=\sqrt{(Qx_1)'(Qx_1)}=\sqrt{x_1'Q'Q_1x}=\sqrt{x_1'x_1}=|x_1| \ . \]
Part 2：矩阵的迹
定义：设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则它的对角线元素之和称为 \(A\) 的迹，记为 \({\rm tr}(A)\) ，即
\[{\rm tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} \ . \]性质 1：设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \({\rm tr}(A)={\rm tr}\left(A'\right)\) 。
性质 2：设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，\(c\) 是一个常数，则 \({\rm tr}(cA)=c\cdot{\rm tr}(A)\) 。
性质 3：设 \(A\) 和 \(B\) 是两个 \(n\) 阶方阵，则 \({\rm tr}(A+B)={\rm tr}(A)+{\rm tr}(B)\) 。
性质 4：设 \(A_{k},\,k=1,2,\cdots,p\) 是 \(p\) 个 \(n\) 阶方阵，则 \({\rm tr}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^pA_{k}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^p{\rm tr}\left(A_{k}\right)\) 。
以上 \(4\) 条性质利用迹的定义即可证明。
性质 5：设 \(A\) 是一个 \(m\times n\) 的矩阵，\(B\) 是一个 \(n\times m\) 的矩阵，则 \({\rm tr}(AB)={\rm tr}(BA)\) 。
设矩阵 \(A\) 和 \(B\) 可以表示为
\[A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array}\right] \ , \quad B=\left[\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm} \\ \end{array}\right] \ . \]设 \(C=AB=(c_{ij})_{m\times m},\,D=BA=(d_{ij})_{n\times n}\) ，于是
\[c_{ii}=\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji} \ , \quad d_{jj}=\sum_{i=1}^mb_{ji}a_{ij} \ . \]由迹的定义可知
\[\begin{aligned} &{\rm tr}(AB)={\rm tr}(C)=\sum_{i=1}^mc_{ii}=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}\right)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji} \ , \\ \\ &{\rm tr}(BA)={\rm tr}(D)=\sum_{j=1}^nd_{jj}=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^mb_{ji}a_{ij}\right)=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^mb_{ji}a_{ij} \ , \end{aligned} \]对比两式即可得到 \({\rm tr}(AB)={\rm tr}(BA)\) 。
性质 6：一个矩阵的迹等于该矩阵的特征值之和。
设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，设 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的特征值，下证 \({\rm tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\) 。
由特征值的定义，可以写出矩阵 \(A\) 的特征方程：
\[|\lambda I_n-A|=\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn} \end{array}\right|=0 \ . \]上式是一个关于 \(\lambda\) 的一元 \(n\) 次方程，等式左端是一个关于 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多项式，称为方阵 \(A\) 的特征多项式。矩阵 \(A\) 的特征值就是该特征方程的解。
把特征方程写为：\(b_0+\displaystyle\sum_{j=1}^nb_j\lambda^j=0\) ，其中 \(b_j\) 是 \(j\) 次项系数，由韦达定理知：
\[\displaystyle\sum_{j=1}^n\lambda_j=-\dfrac{b_{n-1}}{b_n} \ . \]由行列式的定义知，行列式是不同行不同列的项的乘积之和。由于特征方程中除了主对角线的乘积之外，\(\lambda\) 的次数都小于 \(n-1\) ，于是 \(b_n\) 和 \(b_{n-1}\) 分别为 \((\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn})\) 中 \(\lambda^n\) 和 \(\lambda^{n-1}\) 的系数，所以 \(b_n=1,\,b_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\) 。代入即得
\[\sum_{j=1}^n\lambda_j=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}={\rm tr}(A) \ . \]
性质 7：若 \(A\) 为对称幂等矩阵，则 \({\rm tr}(A)={\rm rank}(A)\) 。
设 \(A\) 为 \(n\) 阶对称幂等矩阵，有 \(A'=A\) ，所以存在对角矩阵 \(\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\) 和正交矩阵 \(Q\) ，使得 \(A=Q'\Lambda Q\) ，且有
\[{\rm rank}(A)={\rm rank}\left(Q'\Lambda Q\right)={\rm rank}(\Lambda) \ . \]又因为幂等矩阵的特征值只能为 \(0\) 或 \(1\) ，所以 \({\rm rank}(\Lambda)\) 等于特征值中 \(1\) 的个数，即为 \(A\) 的特征值之和。由性质 \(6\) 知，\({\rm tr}(A)\) 等于 \(A\) 的特征值之和，所以 \({\rm tr}(A)={\rm rank}(A)\) 。
三、矩阵微商
Part 1：一元自变量的矩阵微商
定义：设 \(y=(y_1,y_2,\cdots,y_q)'\) 是变量 \(x\) 的向量函数，则记
\[\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\left(\dfrac{{\rm d}y_1}{{\rm d}x},\dfrac{{\rm d}y_2}{{\rm d}x},\cdots,\dfrac{{\rm d}y_q}{{\rm d}x}\right)' \ , \]即 \(q\) 维向量 \(y\) 对一元变量 \(x\) 的导数仍然是 \(q\) 维向量，称为 \(y\) 对 \(x\) 的导数向量。
定义：设 \(Y=F(x)\) 是变量 \(x\) 的矩阵函数，其中 \(Y=(y_{ij})_{p\times q}\) 是一个 \(p\times q\) 的矩阵，则记
\[\frac{{\rm d}Y}{{\rm d}x}=\left(\frac{{\rm d}y_{ij}}{{\rm d}x}\right)_{p\times q} \ , \]即 \(p\times q\) 的矩阵 \(Y\) 对一元变量 \(x\) 的导数仍然是 \(p\times q\) 的矩阵，称为 \(Y\) 对 \(x\) 的导数矩阵。
Part 2：多元自变量的矩阵微商
定义：设 \(y=f(x)\) 是向量 \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_p)'\) 的一元函数，则记
\[\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_p}\right)' \ , \]即一元函数 \(f(x)\) 对 \(p\) 维向量 \(x\) 的导数仍然是 \(p\) 维向量，称为 \(y\) 对 \(x\) 的偏导数向量。
定义：设 \(y=(y_1,y_2,\cdots,y_q)'\) 是向量 \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_p)'\) 的 \(q\) 维向量函数，即 \(y_i=f_i(x)\) ，则记
\[\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial y'}{\partial x}=\left(\frac{\partial y_j}{\partial x_i}\right)_{p\times q}= \left[\begin{array}{cccc} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} &\cdots &\dfrac{\partial y_q}{\partial x_1} \\ \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial y_q}{\partial x_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_1}{\partial x_p} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_p} &\cdots& \dfrac{\partial y_q}{\partial x_p} \\ \end{array}\right] \ . \]即 \(q\) 维向量函数 \(y\) 对 \(p\) 维向量 \(x\) 的导数是一个 \(p\times q\) 的矩阵，称为 \(y\) 对 \(x\) 的偏导数矩阵，又称为 \(y\) 对 \(x\) 的雅可比矩阵。
Part 3：矩阵微商的性质
首先定义如下的矩阵和向量：
\[\begin{aligned} &x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)' \ , \quad \beta=\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\right)' \ , \\ \\ &A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array}\right] \ , \quad B=\left[\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{array}\right] \ . \end{aligned} \]于是有如下常用的矩阵求导公式：
线性组合对向量求导：
\[\begin{aligned} & \frac{\partial \beta'x}{\partial x}=\frac{\partial x'\beta}{\partial x}=\beta \ . \end{aligned} \]把线性组合看作向量 \(x\) 的一元函数，有
\[\beta'x=x'\beta=\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n \ . \]由矩阵微商的定义可得
\[\frac{\partial \beta'x}{\partial x}=\frac{\partial x'\beta}{\partial x}=\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\right)' =\beta \ . \]
二次型对向量求导：
\[\frac{\partial x'Ax}{\partial x}=\left(A+A'\right)x \ . \]若 \(A\) 是一个实对称矩阵，则有
\[\frac{\partial x'Ax}{\partial x}=2Ax \ . \]若 \(A\) 是一个单位矩阵，则有
\[\frac{\partial x'x}{\partial x}=2x \ . \]把二次型看作向量 \(x\) 的一元函数，有
\[x'Ax=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_{i}x_{j} \ . \]首先对分量 \(x_i\) 求导有
\[\frac{\partial x'Ax}{\partial x_i}=\frac{\partial }{\partial x_i}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_{i}x_{j}=\sum_{j=1}^na_{ij}x_j+\sum_{j=1}^na_{ji}x_j=x'a_{i\cdot}' +x'a_{\cdot i} \ . \]由矩阵微商的定义可得
\[\begin{aligned} \frac{\partial x'Ax}{\partial x}&=\left(\frac{\partial x'Ax}{\partial x_1},\frac{\partial x'Ax}{\partial x_2}\cdots,\frac{\partial x'Ax}{\partial x_n}\right)' \\ \\ &=\left(x'\left(a_{1\cdot}'+a_{\cdot 1}\right),x'\left(a_{2\cdot}'+a_{\cdot 2}\right),\cdots,x'\left(a_{n\cdot}'+a_{\cdot n}\right)\right)' \\ \\ &=\left(x'\left(A'+A\right)\right)' \\ \\ &=\left(A+A'\right)x \ . \end{aligned} \]
线性变换对向量求导：
\[\frac{\partial Bx}{\partial x}=B' \ . \]设 \(y=\left(y_1,y_2,\cdots,y_m\right)'=Bx\) ，则有
\[y_i=\sum_{j=1}^nb_{ij}x_j \ . \]由矩阵微商的定义可得
\[\frac{\partial Bx}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial x}=\left[\begin{array}{cccc} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} &\cdots &\dfrac{\partial y_q}{\partial x_1} \\ \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial y_q}{\partial x_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_1}{\partial x_p} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_p} &\cdots& \dfrac{\partial y_q}{\partial x_p} \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{21} &\cdots & b_{m1} \\ b_{12} & b_{22} &\cdots & b_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} &\cdots & b_{mn} \\ \end{array}\right]=B' \ . \]
标签：统计分析,01,partial,矩阵,多元,cdots,right,rm,left 来源： https://www.cnblogs.com/lixddd/p/15424399.html