行满秩矩阵为何变成增广矩阵还为满秩

由于mn 的矩阵的秩r<=min{m,n}. 所以既然是行满秩，那么 r=m, 且m<=n. 它的增广阵就是m(n+1), 增广的秩<= min{m,n+1}, 由上面的m<=n, 得到m<n+1, 所以增广阵的秩最大为m。 又 增广的秩一定 大于等于 系数阵的秩r，因此，行满秩矩阵的秩等于其增广矩阵的秩
（增广的秩一定 大于等于 系数阵的秩r
增广矩阵(A,b)比系数矩阵A多一列，所以r(A)≤r(A,b)≤r(A)+1。
）

行满秩即行向量组线性无关
而线性无关的向量组添加分量后仍线性无关
所以增广矩阵的行向量组仍线性无关
即 增广矩阵行满秩
（线性无关的向量组添加分量后依然线性无关。为什么？
比如对线性无关的行向量a1,a2,.,an加一维度得到 b1=(a1,l1),b2=(a2,l2),.bn(an,ln)若 k1b1+ …knbn =0即 k1(a1,l1).+kn(an,ln)=0这要求 k1a1+…knan =0 且 k1l1+…knln=0由a1,.an线性无关,有 k1=k2…=kn=0这说明…存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立线性无关，不存在则线性相关、例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。）

1.一个满秩方阵与其增广同秩.
2.非方阵的情况比较复杂,但是都可以用这里例子来说明：一个2x3的满秩矩阵（其秩序为2）与其增广的秩序相同,一个3x2的满秩矩阵（其秩序为2）,其增广的秩序最多为3.

标签：增广,行满,矩阵,a1,无关,线性
来源： https://blog.csdn.net/ykzcs2000/article/details/120809020