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Manacher(马拉车)

作者:互联网

Able was I ere I saw Elba.     ----Napoléon Bonaparte(拿破仑)

一、回文串&回文子串

   这个很好理解。

  如果一个字符串正着读和反着读是一样的,那它就是回文串。 eg. abba ;

  如果一个字符串 S 的子串 SS 为回文串,那么 SS 即为 S 的回文子串;若 SSS 为 S 的回文子串中最长的一个,那么我们称 SSS 为 S 的最长回文子串

 

二、Manacher算法

  如何找到一个字符串的最长回文子串呢?

  我们很容易想到一个 O(n2) 的方法,即:从每个字符开始向两边爆搜。但显然,这个方法效率太低下了。

  如何快速求出答案,这就是 Manacher算法的事了。

 

  Ⅰ. 奇回文&偶回文

    字面意思,不再赘述。

    如果同时存在奇回文和偶回文,那么处理起来会比较的繁琐,下面就是Manacher 一个很巧妙的方法了:在字符串收尾,即各字符间插入一个特殊的字符(指没有出现过的字符),例如:

 

aba  ----> #a#b#a#
abba ----> #a#b#b#a#

 

    这样,所有的回文串就都成奇回文了。

 

inline int Pre()
{
    S[0]='@',S[1]='#';
    int j(1);
    for(register int i=0,len=IP.size();i<len;++i) S[++j]=IP[i],S[++j]='#';
    S[++j]='\0';return j;
}
预处理

 

 

  Ⅱ. 最长回文半径

    令一个回文串中最左或最右位置的字符与其对称轴的距离称为 " 回文半径 ",令 R [ i ] 表示字符 i 的最长回文半径。

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S @ a # b # b # a # b $
R[i] 边界 1 1 2 4 2 1 4 1 2 边界

    显然,R [ i ] - 1 即为以 i 为中心的最长回文子串的长度。

    那么,我们要求的最长回文子串,就成了 max { R [ i ] - 1 } 。

    如何快速求出 R [ ] ???

 

  Ⅲ. Manacher

    从左往右依次讨论。

    设 Max 为已讨论的子串中能达到的右端最大位置,P 为提供当前 Max 的字符位置。如下表:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  12  13  14  15 16 17 18 19 20
          Max的对称点                  Max            

    

    接下来讨论的位置 i 可以分为两种情况:小于等于 Max  ,大于 Max:

      1. 小于等于 Max :

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  12  13  14  15 16 17 18 19 20
          Max的对称点     j(i的对称点)       i      Max            

      由于 i 和 j 对称 ,所以求出 i 的对称点 j ,简直是 "轻易而举" 。

      

      不难发现现在有可以分为两种情况讨论:

          ( 1 ) . 以 j 为对称轴的回文串比较短:那么可以直接令 R [ i ] = R [ j ] ;

          ( 2 ) . 以 j 为对称轴的回文串比较长:此时,我们只能确定不超过 Max 的部分的情况,对于 Max 以外的,我们需要以 i 为中心开始往两侧拓展,直到两侧不同,同时更新 p 和 Max。

       

       2. 大于 Max :  这种情况很好处理,直接拓展就可以了(当然,要同时更新 p 和 Max)

 

   Ⅳ. 代码

 

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char S[50000005];
int m,R[50000005];
string IP;
inline int Pre()
{
    S[0]='@',S[1]='#';
    int j(1);
    for(register int i=0,len=IP.size();i<len;++i) S[++j]=IP[i],S[++j]='#';
    S[++j]='\0';return j;
}
inline int Manacher()
{
    m=Pre();
    int RET(-1),x(0),Max(0);
    for(register int i=1;i<m;++i)
    {
        if(i<Max) R[i]=min(R[2*x-i],Max-i+1);
        else R[i]=1;
        while(S[i-R[i]]==S[i+R[i]]) ++R[i];
        if(Max<i+R[i]-1) x=i,Max=i+R[i]-1;
        RET=max(RET,R[i]-1);
    }
    return RET;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>IP,cout<<Manacher();
    return 0;
}
Manacher

 

 

  Ⅴ. 时间复杂度

    由于Max是不断向右拓展的,最多拓展 n 次,不难得出 马拉车 的时间复杂度是线性的,即 O( n )。

 

标签:子串,字符,int,Manacher,Max,拉车,回文
来源: https://www.cnblogs.com/qfxlzhe/p/15253194.html