概率和期望

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一些定义

事件发生的概率

• 在一个特定的环境下，\(A\)、\(B\)等代表可能发生的所有单个事件，\(S\)代表所有可能发生的单个事件的集合。所以有\(A \in S , B \in S\)。

• 如果有一个集合\(C\)，满足\(C \cap S = \emptyset\)，我们就说\(C\)是不可能事件。如果有一个集合\(D\)，满足\(D=S\)，就说\(D\)是必然事件。因为不管\(S\)中的事件发生多少次，\(C\)都不可能发生，\(D\)都一定发生。

事件的和积事件

• 事件\(A \cup B\)称为事件\(A\)和事件\(B\)的和事件，如果\(A\)和\(B\)至少任意发生一个，我们就说事件\(A \cup B\)发生。(也可记作\(A + B\))

• 事件\(A \cap B\)成为事件\(A\)和事件\(B\)的积事件，如果\(A\)和\(B\)至少同时发生一个，我们就说事件\(A \cap B\)发生。(也可记作\(A \times B\))

• 当有多个事件的时候我们可以用\(\bigcup_{k=1}^{n}A_k\)和\(\bigcap_{k=1}^{n}A_k\)

互斥和互补

• 如果\(A \cap B = \emptyset\)，称事件\(A\)和事件\(B\)互质，指\(A\)和\(B\)不能同时发生。
• 如果\(A \cup B =S\)，且\(A \cap B = \emptyset\)，称事件\(A\)和事件\(B\)互为对立事件(补集)。

频率和概率

• 频率：在相同的条件下，进行了\(n\)次实验，在\(n\)次实验中，事件A发生了\(N_A/n\)次，那么\(N_A/n\)称为事件\(A\)发生的频率(\(n\)是频数)
• 我们可以发现，当\(n=\infty\)，对于相同事件，频率无限接近概率

概率的性质

我们设事件\(A\)发生的概率是\(P(A)\)。那么有：

显然的性质

1. 非负性：对于任意事件\(A\)，都有\(0 \le P(A) \le 1\)
2. 规范性：对于每个必然事件\(A\)，\(P(A)=1\)；每个不可能事件\(A\)，\(P(A)=0\)
3. 互斥性：对于任意两个事件\(A\)和\(B\)，\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
4. 互斥事件的可加性：如果事件\(A\)和\(B\)是互斥的，那么\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
5. 对立事件的概率之和\(=1\)
6. 独立事件的可乘性：如果事件\(A\)和\(B\)之间是相互不干扰的，我们就说\(A\)和\(B\)是相互独立的事件，那么就有\(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)\)

不显然的性质

7. 伯努利大数定理：如果在一次实验中，某事件发生的概率是\(p\)，不发生的概率是\(q\)，则在\(n\)次试验中至少发生\(m\)次的概率等于\((p+q)^n\)的 展开式 中从\(p^n\)到包括\(p^mq^{n−m}\)为止的各项之和。 如果在一次实验中，某事件发生的概率为\(p\)，那么在\(n\)次独立重复的试验中这个事件恰好发生\(k\)次\(0 \le k \le n\)的概率是\(P_n(k)=C^n_k \times p^k \times (1−p)^{n−k}\)

例题

yty找文件

yty有一张书桌，有8个抽屉，分别用数字1~8编号。每次拿到一个文件后，他都会把这份文件随机地放在某一个抽屉中。但是，可怜的yty非常粗心，有\(\frac{1}{5}\)的概率会忘了把这个文件放进抽屉，最终因为没有放进抽屉而把文件弄丢。现在，yty要找一个文件，他按照编号顺序依次打开每一个抽屉，直到找到这份文件为止，或者最终发现文件已经丢失。

请回答下列问题：

1. 如果yty打开了第一个抽屉，但是没有发现他要的文件，请问这份文件在其余7个抽屉的概率是多少？
2. 如果yty打开了前4个抽屉，里面没有发现他要的文件，请问这份文件在其余4个抽屉里的概率是多少？
3. 如果yty打开了前7个抽屉，里面没有他要的文件，请问这份文件在最后一个抽屉里的概率是多少？

题解

我们可以假设yty有10个柜子，不过后两个柜子是扔进去就扔不出来的(即弄丢了)，然后就可以进行愉快的概率计算啦。

假设yty打开了前\(i\)个抽屉，里面没有发现他想要的文件，那么这份文件在其余\(8-i\)个抽屉的概率是\(\frac{8-i}{10-i}\)

古典概率

• 古典概率也叫事前概率，也就是在事情发生之前我们就可以推算出来任何事件发生的概率。概率用的最早的就是一些概率游戏和赌博中。

特点

1. 样本容量有限
2. 事件可能性相同
3. 事件互斥

计算公式

在计算古典概率的时候，如果在全部可能出现的基本事实范围内构成事件\(A\)的基本事件有\(a_n\)个，不构成事件\(A\)的基本事件有\(b_n\)个，那么出现事件\(A\)的概率是\(P(A)=a/(a+b)\)

数学期望

数学期望可以理解为某件事情大量发生之后的平均结果(这个事件的概率会受到一些因素的干扰)，可以这样分辨：概率针对几率，期望针对最终结果。

计算公式

在计算时不能简单的使用古典概率的计算方法，不能只考虑样本容量，还得考虑样本中每个事件出现的概率，假设我们规定\(x_1,x_2,x_3,...,x_n\)是随机输出值，这些随机输出值对应的概率就是\(p_1,p_2,p_3,...,p_n\)(\(\sum_{i=1}^{n}p_i=1\))，数学期望的公式是\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i \times x_i\)

扩展公式

1. 期望的“线性”性。\(E(aX)+E(bY)=aE(X)+bE(Y)\)

2. 全概率公式。假设\(\{B_n|n=1,2,3,...,n\}\)是一个概率空间的有限或者可数无限的分割，且每个集合\(B_n\)是一个可测集合，则对任意事件\(A\)有全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_n)P(B_n)\)。其中\(P(A|B)\)是\(B\)发生后\(A\)的条件概率。

3. 引申：\(P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}\)

4. 全期望公式。\(P_{ij}=P(X=x_i,Y=y_i)(i,j=1,2,..n)\)，当\(X=x_i\)时，随机变量\(Y\)的条件期望以\(E(Y|X=x_i)\)表示，则全期望公式：

   \[\begin{split} E(E(Y|X))& =\sum_{i=1}^{n}P=(X=x_i)E(Y|X=x_i)\\ & =\sum_{i=1}^{n}p_i\sum_{k=i}^{n}yk\frac{p_ik} {p_i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=i}^{n}p_iy_k\frac{p_ik}{p_i}\\ & =E(Y) \end{split} \]

   所以：\(E(Y)=E(E(Y|X))=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)E(Y|X=x_i)\)

例题

如果yty一个人搬砖，平均需要4小时，而hh有0.4的概率来帮yty搬砖，两个人一起搬砖平均只需要3小时。

题解

令X表示搬砖的人数，Y表示搬砖的期望时间，则\(E(Y)=P(X==1)E(Y|X==1)+P(X=2)E(Y|X==2)=(1-0.4)*4-0.4*3=3.6\)

标签：概率,期望,yty,sum,发生,事件,抽屉
来源： https://www.cnblogs.com/wuchen-place/p/15359998.html