《<图上的游戏>命题报告》学习笔记
作者：互联网
《<图上的游戏>命题报告》学习笔记
简要题意
这是一道交互题。
交互器有一个无自环的无向连通图 \(G=(V=\{0,1,\ldots,n-1\},E=\{0,1,\ldots,m-1\})\)。你需要通过如下询问来确定这张图：每次询问你可以给出 \(S\subset E,u\in V\)，交互器会返回在 \(G'=(V,E\setminus S)\) 中 \(0\) 和 \(u\) 是否联通。保证交互器不自适应。
\(1\leq n,m\leq 600\)，询问次数上线为 \(3000\)。
题解
前置算法
对于一个大小为 \(n\) 的集合\(S\)，其中有 \(m\) 个好元素。若每次可以选定 \(T\subset S\)，询问 \(T\) 中是否有好元素。那么可以通过对 \(S\) 分治，在 \(O(m\log n)\) 次询问内找到所有好元素。
链的做法
按照随机顺序加入所有点，维护已加入点的相对顺序以及两两相邻点之间的边集。加入一个点时可以二分找到它的位置，然后暴力判断它插入的区间中的所有边在它的哪一侧。期望询问次数为 \(O(n\log n)\)。
树的做法
不妨设该树以 \(0\) 为根。
考虑将树拆成若干条链。具体地，给每个非根结点一个颜色，使所有同色的点组成了树上的一条链。且满足每条链顶端的父亲所在的链的颜色比它小。设一条边的颜色为其较深的端点的颜色。
初始时所有点和边均无颜色。考虑依次加入所有点，维护已确定的所有边的颜色。不妨设此时加入的节点为 \(u\)：
- 若 \(u\) 可以被已确定颜色的边与根连通，则说明 \(u\) 的颜色已出现过。可以通过二分来确定 \(u\) 的具体颜色（每次保留颜色 \(\leq mid\) 的边，判断 \(u\) 和根是否连通）。
- 否则，令 \(u\) 的颜色为一种新的颜色（比所有其他颜色都大）。接着确定所有这种颜色的边，注意到可以通过前置算法求出（一个无色边集 \(S\) 包含此类边，当且仅当保留 \(E\setminus S\) 时 \(u\) 和根无法联通）。
拆分成链后，链内部的边可以通过链的做法求出，于是只用求出每条链顶端的父亲。
考虑按照颜色从小到大确定所有链，每次可以通过二分 dfs 序来求出链顶的父亲（保留两个端点 dfs 序均 \(\leq mid\) 的边，判断链顶和根是否连通），然后更新该链的 dfs 序。
询问次数 \(O(n\log n)\)。
图的做法
考虑先找出一棵生成树。
考虑依次加入所有点，维护连通已加入点的生成树。加入节点 \(u\) 时，进行如下操作直到仅保留树边后 \(u\) 能与根连通：
- 依次删除每条非树边直到 \(u\) 不能与根连通，将最后被删的边加入树边，然后还原所有被删除的边。容易发现此做法可以通过二分前缀来优化询问次数。
确定了生成树之后树边可以通过树的做法求出，于是只用确定非树边。
考虑按 dfs 序倒序每次确定一个节点，然后将连向该点所有的边删除。不妨设此时的待确定节点为 \(u\)（不难发现此时 \(u\) 一定为叶子），可以通过前置算法求出连向 \(u\) 的所有非树边集合（一个非树边集 \(S\) 包含连向 \(u\) 的边，当且仅当保留 \(S\) 和除了 \(u\) 连向父亲的边之外的所有树边后 \(u\) 和根可以连通）。然后可以通过二分 dfs 序来确定每条边的另一个端点。
询问次数 \(O(n\log n)\)。
code
标签：连通,颜色,询问,所有,命题,笔记,学习,确定,dfs 来源： https://www.cnblogs.com/Y25t/p/15344530.html