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排列组合之插板法及变形

作者:互联网

主要用于“相同元素”分到“不同容器”的排列组合。

【例1】 共有10本相同的书分到7个班里,每个班至少要分到一本书,问有几种不同分法?

【解析】注意,这里面有个隐含的条件,根据常理,7个班肯定是不同的。如果是书柜,可能是相同的。

因为书是相同的,可以排成一排,分给7个班,也就是在这一排书中间插入6个板,把书分成7份即可。这排书共10本,中间有9个空,选6个空插板,所以有C(9,6)种分法。

  

【例2】共有10本相同的书分到7个班里,问有几种不同分法?

【解析】注意这里没有要求每个班至少要分到一本,如果用插板法,两个板可以插到同一个空里。显然用原来的方法不能解决。但思路是一样的,把书分给7个班,我们还是插6块板,把书分成7份(如果板中间没有书,说明这一份是0)。但这个时候空位的数量不一定了,把思路换一下,当插好板以后,书和板一共16个位子,其实就是16个位子选6个位子放板。所以有C(16,6)种分法。

 

【例3】10个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法?

【解析】球数不少于编号数,就是1号盒子最少放1个球,2号盒子最少放2个球...。如果我们先把2号盒子放1个球,2号盒子放1个球,就变成每个盒子至少放一个球了,这时可以用最普通的插板法。答案是C(7,2)。

 

【例4】有10颗相同的糖,每天至少吃1颗,共有几种吃法?

【解析】注意,此题没有确定要几天吃完(例如如果要5天吃完,那么就是9个空插4个板,C(9,4)种),所以可以1天吃完,可以两天吃完。。。也可以10天吃完。那么就有C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+...+C(9,9)。

此题有一个更简单的思路,根据上面的分析,10颗糖排成一排,中间有9个空,每个空都可以插板,也可以不插板,插板或不插板各代表一种吃法,所以共有2*2*2...*2(9个2)=2^9种吃法。由此也可以知道,C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+...+C(9,9)=2^9。

 

【例5】一条马路上有编号为1,2,...,9共9盏路灯。现为了节约用电,需要关掉其中的3盏,但相邻的两盏或三盏不能同时关掉,问共有几种关法?

【解析】关掉的灯不能连在一起,我们可以先把要关掉的灯拿出来,这样还剩6盏灯,把关掉的灯插入亮灯中间和两边共7个共位。所以共有C(7,3)种关法。

 

【例6】一条马路上有编号为1,2,...,9共9盏路灯。现为了节约用电,需要关掉其中的3盏,但相邻的两盏或三盏不能同时关掉,为了安全起见,两边的灯不能关掉,问共有几种关法?

【解析】分析同上,但两边空位不能插关掉的灯,共有C(5,3)种关法。

 

捆绑法

【例7】有7语文书,6本数学书,3本英语书排成一排,要求数学书放在一起,英语书也要放在一起,有几种放法?

【解析】把数学书和英语书各看成一本进行排列,然后再分别对数学书和英语书进行排列,共有p(9,9)*p(6,6)*p(3,3)种放法。

 

【例8】有6个不同的球,放到5个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,有几种放法?

【解析】必定有一个盒子是放两个球的,先找出两个球做了一个整体(因为这两个球放到同一个盒子里,所以不用考虑这两个球排列问题),有C(6,2)种方法,把这两个球看成一个整体,和另外4个球合在一起共5个球放在5个不同的盒子里,共有A(5,5)种方法,所以共有C(6,2)*A(5,5)种方法。

 

【例9】停车场有12个停车位,有8辆车要停,要求空车位要连在一起,共有几种停法?

【解析】还剩4个空车位,要连在一起,共有9种方法(8辆车之间7个空位都可以放连续空车位,首尾两端也可以,所以有9种方法),然后其余8个车位停8辆车,有P(8,8)种方法。所以共有9*P(8,8)=P(9,9)种方法。

 

【例10】ABCDE五人排队,A和B不能排在一起,有几种排法?

【解析】先让CDE三个排队,然后A和B插到空位里,共有P(3,3)*P(4,2)=3*P(4,4)。或者用所有的排列减去A和B在一起的排列P(5,5)-P(2,2)*P(4,4)=3*P(4,4)

 

【例11】8个人排队,要求甲乙两人排在一起但不能与丙排在一起,有几种排法?

【解析】先让其余5人排队,然后把甲乙看作一个整体,与丙一起插6个空,然后甲乙再排队,共有P(5,5)*P(6,2)*P(2,2)

 

【例12】 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种?

【解析】每个人先坐好一把椅子,剩下的5把椅子还有4个空位,每个人带椅子插到空位上,共有P(3,3)*C(4,3)

 

标签:10,盒子,插板,关掉,法及,共有,排列组合,解析
来源: https://www.cnblogs.com/ziyuwang/p/10384683.html