排列组合之插板法及变形
作者：互联网
主要用于“相同元素”分到“不同容器”的排列组合。
【例1】 共有10本相同的书分到7个班里，每个班至少要分到一本书，问有几种不同分法？
【解析】注意，这里面有个隐含的条件，根据常理，7个班肯定是不同的。如果是书柜，可能是相同的。
因为书是相同的，可以排成一排，分给7个班，也就是在这一排书中间插入6个板，把书分成7份即可。这排书共10本，中间有9个空，选6个空插板，所以有C(9,6)种分法。
【例2】共有10本相同的书分到7个班里，问有几种不同分法？
【解析】注意这里没有要求每个班至少要分到一本，如果用插板法，两个板可以插到同一个空里。显然用原来的方法不能解决。但思路是一样的，把书分给7个班，我们还是插6块板，把书分成7份（如果板中间没有书，说明这一份是0）。但这个时候空位的数量不一定了，把思路换一下，当插好板以后，书和板一共16个位子，其实就是16个位子选6个位子放板。所以有C(16,6)种分法。
【例3】10个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？
【解析】球数不少于编号数，就是1号盒子最少放1个球，2号盒子最少放2个球...。如果我们先把2号盒子放1个球，2号盒子放1个球，就变成每个盒子至少放一个球了，这时可以用最普通的插板法。答案是C(7,2)。
【例4】有10颗相同的糖，每天至少吃1颗，共有几种吃法？
【解析】注意，此题没有确定要几天吃完（例如如果要5天吃完，那么就是9个空插4个板，C(9,4)种），所以可以1天吃完，可以两天吃完。。。也可以10天吃完。那么就有C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+...+C(9,9)。
此题有一个更简单的思路，根据上面的分析，10颗糖排成一排，中间有9个空，每个空都可以插板，也可以不插板，插板或不插板各代表一种吃法，所以共有2*2*2...*2(9个2）=2^9种吃法。由此也可以知道，C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+...+C(9,9)=2^9。
【例5】一条马路上有编号为1，2，...，9共9盏路灯。现为了节约用电，需要关掉其中的3盏，但相邻的两盏或三盏不能同时关掉，问共有几种关法？
【解析】关掉的灯不能连在一起，我们可以先把要关掉的灯拿出来，这样还剩6盏灯，把关掉的灯插入亮灯中间和两边共7个共位。所以共有C(7,3)种关法。
【例6】一条马路上有编号为1，2，...，9共9盏路灯。现为了节约用电，需要关掉其中的3盏，但相邻的两盏或三盏不能同时关掉，为了安全起见，两边的灯不能关掉，问共有几种关法？
【解析】分析同上，但两边空位不能插关掉的灯，共有C(5,3)种关法。
捆绑法
【例7】有7语文书，6本数学书，3本英语书排成一排，要求数学书放在一起，英语书也要放在一起，有几种放法？
【解析】把数学书和英语书各看成一本进行排列，然后再分别对数学书和英语书进行排列，共有p(9,9)*p(6,6)*p(3,3)种放法。
【例8】有6个不同的球，放到5个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，有几种放法？
【解析】必定有一个盒子是放两个球的，先找出两个球做了一个整体（因为这两个球放到同一个盒子里，所以不用考虑这两个球排列问题），有C(6,2)种方法，把这两个球看成一个整体，和另外4个球合在一起共5个球放在5个不同的盒子里，共有A(5,5)种方法，所以共有C(6,2)*A(5,5)种方法。
【例9】停车场有12个停车位，有8辆车要停，要求空车位要连在一起，共有几种停法？
【解析】还剩4个空车位，要连在一起，共有9种方法（8辆车之间7个空位都可以放连续空车位，首尾两端也可以，所以有9种方法），然后其余8个车位停8辆车，有P(8,8)种方法。所以共有9*P(8,8)=P(9,9)种方法。
【例10】ABCDE五人排队，A和B不能排在一起，有几种排法？
【解析】先让CDE三个排队，然后A和B插到空位里，共有P(3,3)*P(4,2)=3*P(4,4)。或者用所有的排列减去A和B在一起的排列P(5,5)-P(2,2)*P(4,4)=3*P(4,4)
【例11】8个人排队，要求甲乙两人排在一起但不能与丙排在一起，有几种排法？
【解析】先让其余5人排队，然后把甲乙看作一个整体，与丙一起插6个空，然后甲乙再排队，共有P(5,5)*P(6,2)*P(2,2)
【例12】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？
【解析】每个人先坐好一把椅子，剩下的5把椅子还有4个空位，每个人带椅子插到空位上，共有P(3,3)*C(4,3)
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