面试题 17.16. 按摩师

题目

一个有名的按摩师会收到源源不断的预约请求，每个预约都可以选择接或不接。在每次预约服务之间要有休息时间，因此她不能接受相邻的预约。给定一个预约请求序列，替按摩师找到最优的预约集合（总预约时间最长），返回总的分钟数。

示例1：

输入： [1,2,3,1]
输出： 4
解释： 选择 1 号预约和 3 号预约，总时长 = 1 + 3 = 4。

示例2：

输入： [2,1,4,5,3,1,1,3]
输出： 12
解释： 选择 1 号预约、 3 号预约、 5 号预约和 8 号预约，总时长 = 2 + 4 + 3 + 3 = 12。

分析： 动态规划问题，定义dp[i]为截止到位置i的序列预约最大时长，i处有两种选择，一种是选择接，那么i-1处必然不能选择接，因此dp[i] = dp[i-2]+nums[i], 第二种是不接，dp[i] = dp[i-1]， 二者取最大值即为在到i处的最大预约时长，确定了状态转移方程，实现起来就容易了

方法1： 创建一个数组，用来存储对应位置的最大时长, 时间复杂度和空间复杂度均是 O ( n ) O(n) O(n)

class Solution:
    def massage(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:
            return 0
        dp_array = [0]*(len(nums)+1)
        dp_array[1] = nums[0]
        for i in range(2,len(nums)+1):
            dp_array[i] = max(dp_array[i-1], dp_array[i-2]+nums[i-1])
        return dp_array[-1]

方法2： 由于当前的状态值只与前两个有关，因此可以创建两个变量用来存储前两个状态值，空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)

class Solution:
    def massage(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:
            return 0
        a = b = 0
        b = nums[0]
        for i in range(2,len(nums)+1):
            c = max(b, a+nums[i-1])
            a = b
            b = c
        return b

总结： 「动态规划」其实不是什么特别难懂的东西（只是说思想），只是这一类问题刚接触的时候有点不太适应，并且这类问题容易被包装得很过分，而且没有明显的套路，题型多样，所以学习「动态规划」会有一些些吃力，这没有办法，见多了就好。如果是准备面试，不需要掌握特别复杂的「动态规划」问题（当然前提是你没有在简历上说你是算法竞赛高手）。

「动态规划」告诉了我们另一种求解问题的思路。我们学习编程，习惯了自顶向下求解问题（递归），在自顶向下求解问题的过程中，发现了重复子问题，我们再加上缓存。而「动态规划」告诉我们，其实有一类问题我们可以从一个最简单的情况开始考虑，通过逐步递推，每一步都记住当前问题的答案，得到最终问题的答案，即「动态规划」告诉了我们「自底向上」思考问题的思路。

也就是说「动态规划」告诉我们的新的思路是：不是直接针对问题求解，由于我们找到了这个问题最开始的样子，因此后面在求解的过程中，每一步都可以参考之前的结果（在处理最优化问题的时候，叫「最优子结构」），由于之前的结果有重复计算（「重复子问题」），因此必须记录下来。

这种感觉不同于「记忆化递归」，「记忆化递归」是直接面对问题求解，遇到一个问题解决了以后，就记下来，随时可能面对新问题。而「动态规划」由于我们发现了这个问题「最初」的样子，因此每一步参考的以前的结果都是知道的，就像我们去考试，所有的考题我们都见过，并且已经计算出了答案一样，我们只需要参考以前做题的答案，就能得到这一题的答案，这是「状态转移」。应用「最优子结构」是同一回事，即：综合以前计算的结果，直接得到当前的最优值。

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来源： https://blog.csdn.net/chenghaoy/article/details/120420171