整数与二进制

提要：理解与掌握二进制数在计算机的运算方面的应用

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文章目录

• 整数与二进制
• 一、简单乘法
• • 1.递归版
  • 2.迭代版
• 二、证明命题1.1
• 三、除法算法的证明

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一、简单乘法

1.递归版

 代码如下（示例）：
                      摘自王立斌老师《具体数论与代数》

2.迭代版

 代码如下（示例）：

#include<stdio.h> 
int naive_multiply(int a,int b);
void main()
{
	printf("输入要计算的整数a和b\n");
	int a,b;
	scanf("%d",&a); 
	scanf("%d",&b); 

	printf("a*b=");
	printf("%d",naive_multiply(a,b));
}

int naive_multiply(int a,int b)
{
	int result=0,k=1;
	while(b!=0)
	{
		if(b%2==0)   ;
		else  result+=a*k;
		b=b/2;
		k=k*2;
	}
	return result;
}

 
 

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二、证明命题1.1

定理： 2 0 2^{0} 20+ 2 1 2^{1} 21+……+ 2 n 2^{n} 2n= 2 n + 1 − 1 2^{n+1}-1 2n+1−1

证明：
 显然这是一个首项为1，公比为2的等比数列求和问题
 根据公式有
   S n S_{n} Sn​= n a 1 a_{1} a1​ (q=1)
 
   S n S_{n} Sn​= a ₁ ( 1 − q ⁿ ) 1 − q \frac{a₁(1-qⁿ)}{1-q} 1−qa₁(1−qⁿ)​ (q ≠ \neq ​= 1)
 
 带入数据得 S n S_{n} Sn​= 2 n + 1 2^{n+1} 2n+1-1
 故命题1.1的相关二进制算法得证。

 
 

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三、除法算法的证明

充分性：
 构造集合
   S={a-bk;  k ∈ \in ∈Z 且 a-bk ≥ \geq ≥ 0};
 显然，集合S非空。由良序原则，存在一个最小元 r  ∈ \in ∈ S，且 r = a - qb
 因此，a = qb + r，r ≥ \geq ≥ 0
 
 显然，集合中必定存在一个 k 1 k_{1} k1​，使得 r = a-b k 1 ≥ k_{1}\geq k1​≥ 0，且 a - b( k 1 k_{1} k1​+1) <0
 则有 a - b k 1 k_{1} k1​ < b
 即 r < b
 
  综上所述，0 ≤ \leq ≤ r < b

 

必要性：
 假设 q 和 r 不唯一，则有 a = q 1 q_{1} q1​b + r 1 r_{1} r1​和 a = q 2 q_{2} q2​b + r 2 r_{2} r2​ (0 ≤ \leq ≤ r 1 r_{1} r1​ < b，0 ≤ \leq ≤ r 2 r_{2} r2​ < b)
 两式相减得， r 2 r_{2} r2​ - r 1 r_{1} r1​ = b ( q 1 q_{1} q1​ - q 2 q_{2} q2​)
  ∵ \because ∵ q != 0
  ∴ \therefore ∴ b能整除 r 2 r_{2} r2​ - r 1 r_{1} r1​
  又 ∵ \because ∵ 0 ≤ \leq ≤ r 1 r_{1} r1​ < b，0 ≤ \leq ≤ r 2 r_{2} r2​ < b
  ∴ \therefore ∴ -b < r 2 r_{2} r2​ - r 1 r_{1} r1​ < b
  ∴ \therefore ∴ r 2 r_{2} r2​ - r 1 r_{1} r1​ = 0
  即 r 2 r_{2} r2​ = r 1 r_{1} r1​
  则由题设 a = q 1 q_{1} q1​b + r 1 r_{1} r1​ = q 2 q_{2} q2​b + r 2 r_{2} r2​ 可得， q 1 q_{1} q1​ = q 2 q_{2} q2​
  因此原命题不成立
  则可认为 q 和 r 是唯一的

综合以上两点，则可证明“除法算法”成立

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来源： https://blog.csdn.net/summe_boy/article/details/120186915