673. 最长递增子序列的个数

        673. 最长递增子序列的个数

        这道题目是300. 最长递增子序列的进阶版。

        解决代码如下：

from bisect import bisect_left
class Solution(object):
    def findNumberOfLIS(self, nums):
        dp = [nums[0]]
        dp1 = [{nums[0] : 1}]
        for i in nums[1 : ]: 
            if i > dp[-1]:
                dp.append(i)
                dp1.append({i : 0})
                for key,value in dp1[-2].items():
                    if i > key:
                        dp1[-1][i] += value
            else:
                pos = bisect_left(dp, i)
                dp[pos] = i
                if i not in dp1[pos]:
                    dp1[pos][i] = 0
                if pos == 0:
                    dp1[0][i] += 1
                else:
                    for key, value in dp1[pos - 1].items():
                        if i > key:
                            dp1[pos][i] += value
        res = 0
        for value in dp1[-1].values():
            res += value
        return res

原理：

        维护dp和dp1数组

        dp数组索引 i 处记录的是当前构成长度为 i+1 的递增子序列的最小末尾数

        dp1和dp很类似，但是dp1索引 i 处记录的是应该字典，字典中记录的是当前所有长度为 i+1 的子序列，当它们末尾数为key时，有value种构成的方式（key必须构成尽量长的子序列，例如以7为末尾数时，最长能构成长度为3的子序列）

        对nums数组遍历

        比如 nums = [10,9,2,5,3,7,21,18]

        当遍历到nums[6] = 21时：

        因为构成长度为1的子序列有[10]，[9]，[2]，[5]，[3]，[7]，最小的末尾数是2

        构成长度为2的子序列有[2,5]，[2,3]，[2,7]，[3,7]，[5,7]，最小的末尾数是3

        构成长度为3的子序列有[2,5,7]和[2,3,7]，最小的末尾数是7

        所以此时dp = [2,3,7]

        因为dp是一个单调递增的数组，当遍历到nums[n]（记为num）时，如果num > dp[-1]，就在dp末尾插入num，否则，用bisect模块中的bisect_left函数，定位num应该在dp中插入的位置pos，然后更新

        注意不是把num插入到dp[pos]位置，而是将dp[pos]更新为num

        例如当遍历到nums[7] = 18时，此时dp = [2,3,7,21]，定位18在dp中的位置，pos = 3，所以dp[3] = 18，dp = [2,3,7,18]

        接下来是如何维护dp1

        当遍历到nums[5] = 7（记为num）时：

        此时dp1 = [{10:1, 9:1, 2:1}, {5:1, 3:1}]

        由pos可知，当num为7时，最长的子序列长度变成了3，所以要在dp1末尾插入一个新的字典，这个字典新增key = 7，value = 当前长度为2的子序列，且末尾数小于7（这里有2和5）的key所对应的value之和 1+1=2 

        同理当遍历到nums[7] = 18 时：

        此时dp1 = [{10:1, 9:1, 2:1}, {5:1, 3:1}, {7:2}, {21:2}]

        由pos可知，18应该作为key添加到子序列长度为4的字典里面，即dp1[3]，value等于当前子序列长度为3，且末尾数小于18（只有dp1[3][7]）的key所对应的value之和 2

        当遍历完nums数组以后，dp1[-1]中的全部value加起来，就是所要求的最长递增子序列的个数

     

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来源： https://blog.csdn.net/m0_56015193/article/details/120403518