【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（1）：二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数
作者：互联网
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简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
二阶与三阶行列式
二阶行列式
记作
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)
定义
主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差，即：\(a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)
注：行列式本质是一个数值，比如\(\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 &4 \end{vmatrix}\)代表的就是数值(-2=1×4-2×3)
举例
\(\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = ？\)
答：
\(\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3*1-(-2)*2=3-(-4)=7\)
三阶行列式
记作
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}\)
举例
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2\\ \end{vmatrix} = ？\)
答：
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2 \end{vmatrix}=1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)=-14\)
全排列及其逆序数
全排列
定义
从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
当m=n时所有的排列情况叫全排列。
公式
全排列数f(n)=n!(定义0!=1)
举例
用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?
答：3×2×1=6种。
假设先放百位，有三种可能，再放十位，有两种可能，最后放个位，只有一种可能了。
故为3×2×1=6种
从上面例子可以发现：
当有n个不同数字进行排列时
第一个位置有(n)选择，第二个位置有(n-1)种选择...第n个位置有1种选择，一共有n(n-1)(n-2)...2*1种可能，也就是n!种排列方式。
我们用\(P_{n}\)表示n种不同元素的所有排列的种数，则
\(P_n=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1=n!\)
逆序数
概念
- 标准次序：n个不同的数字，我们可以规定从小到大为标准次序
- 逆序：与标准排列次序相反（比如两个元素排序是从大到小，与标准次序相反，则视为逆序）
- 排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数
计算排列的逆序数的方法
n个元素（依次为1,2,3...n-1,n），规定从小到大为标准次序
设\(p_1p_2...p_n\)为这n个元素的一个排列，对于元素\(p_i\)(i=1,2...,n)，如果比\(p_i\)大的且排在\(p_i\)前面的元素有\(t_i\)个，那么就说\(p_i\)这个元素的逆序数是\(t_i\)。
全体元素的逆序数总和为t，那么
\(t=t_2+t_2+...+t_n=\sum_{t=1}^nt_i\)
即是这个排列的逆序数。
举例
求排列32514的逆序数
答：3在第一位，前面没有数，逆序数为0
2在第二位，前面的数中，有一个数3比2大，所以逆序数为1
5的前面没有比5的数，逆序数为0
1的前面比1大的数有：3、2、5，所以逆序数为3
4的前面比4大的只有5，所以逆序数为1
综上，该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5
补充概念
- 齐排列：逆序数为奇数的排列
- 偶排列：逆序数为偶数的排列
结语
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
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标签：...,排列,元素,Machine,vmatrix,行列式,Learning,Mathematics,序数 来源： https://www.cnblogs.com/haihongpro/p/15257875.html