同调代数笔记1

范畴论，尤其是阿贝尔范畴，是同调代数的基石。基础的范畴论包含了以下概念：

范畴
一个范畴\(\mathcal{C}\)包含对象\(\text{obj}(\mathcal{C})\)，和态射\(\text{Hom}(A, B)\)，其中\(A,B\in \text{obj}(\mathcal{C})\)，态射必须满足

1. 每个对象\(A\in\text{obj}(\mathcal{C})\)存在\(1_A \in \text{Hom}(A, A)\)，使得\(f1_A = f\)且 \(1_Af = f\)
2. 复合运算是结合的，即\(f\in\text{Hom}(A, B), g\in\text{Hom}(B, C), h\in\text{Hom}(C, D)\)，则

\[(fg)h = f(gh) \]

我们发现，态射的概念和幺半群十分相似，但幺半群中每个元素皆可相乘，而态射的复合必须匹配定义域和值域。有了态射之后，我们还可以构造同构。注意这里的同构并不考虑对象中的元素，而是通过态射构造。我们通过以下方式构造同构：如果\(f\in\text{Hom}(A, B), g\in\text{Hom}(B, A)\)，并且\(gf = 1_A, fg = 1_B\)，则称\(f, g\)是同构，\(g\)成为\(f\)的逆态射。我们看以下例子：

1. 一个范畴\(\mathcal{C}\)的反范畴\(\mathcal{C}^{op}\)，满足：

\[\text{obj}(\mathcal{C}^{op}) = \text{obj}(\mathcal{C}) \]

\[\text{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(A, B) = \text{Hom}_\mathcal{C}(B, A) \]

2. 对于拓扑空间\(X\)，开集范畴\(\text{Op}(X)\)的对象为\(X\)中的开集，态射为包含映射。

函子
函子是范畴之间的映射，分为共变函子和反变函子。共变函子\(T: \mathcal{C}\to \mathcal{D}\)的构造如下：对任意\(A \in \mathcal{C}\)都有\(T(A) \in \mathcal{D}\)；对任意\(f \in \text{Hom}_\mathcal{C}(A, B)\)都有\(T(f) \in \text{Hom}_\mathcal{D}(T(A), T(B))\)，并且满足

\[T(1_A) = 1_{T(A)} \]

\[T(fg) = T(f)T(g) \]

而反变函子\(T: \mathcal{C}\to \mathcal{D}\)则是：对任意\(A \in \mathcal{C}\)都有\(T(A) \in \mathcal{D}\)；对任意\(f \in \text{Hom}_\mathcal{C}(A, B)\)都有\(T(f) \in \text{Hom}_\mathcal{D}(T(B), T(A))\)，并且满足

\[T(1_A) = 1_{T(A)} \]

\[T(fg) = T(g)T(f) \]

我们有以下例子：

1. 如果\(f\to T(f)\)是单射，那么就称\(T\)是一个忠实函子。如果存在忠实函子\(U: \mathcal{C}\to \mathbf{Set}\)，那么就称\(\mathcal{C}\)为具体范畴。
2. 令\(X \in \text{obj}(\mathcal{C})\)，\(\text{Hom}(A, \square)\)将对象\(X\)映射成\(\text{Hom}(A, X)\)，将态射\(f\in \text{Hom}(X, Y)\)映射成函数\(g \to g \circ f\)，其中\(g\in \text{Hom}(A, X)\)，这个取值为\(\mathbf{Set}\)的函子称为Hom函子。\(\text{Hom}(A, \square)\)是一个共变函子，也可以定义反变函子\(\text{Hom}(\square, B)\)。
3. 如果一个共变函子\(F: \mathcal{C}\to \mathbf{Set}\)满足存在\(A\in \text{obj}(\mathcal{C})\)使得\(F\cong \text{Hom}(A, \square)\)，那么称\(F\)是可表函子，写成\(h_A\)。我们也可以对反变函子定义可表函子。
4. 反变函子\(G: \text{Op}(X) \to \mathbf{Set}\)称为拓扑空间\(X\)上的预层。

自然变换
自然变换是函子之间的映射。假如\(S, T: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)是两个共变函子，那么自然变换\(\tau\)定义为：对任意\(A\in \text{obj}(\mathcal{C})\)，\(\tau_A: S(A) \to T(A)\)；对任意\(f\in\text{Hom}(A, B)\)，\(\tau_A \circ S(f) = T(f) \circ \tau_B\)。类似也可以定义反变函子的自然变换。如果每个\(\tau_A\)都是同构，则称\(\tau\)为自然同构。

注意：由于后一个条件的存在，自然变换不一定存在，也不一定唯一。例如：令\(\mathcal{I} = 0 \to 1\)是2个对象和1个态射构成的范畴，令\(S: \mathcal{I} \to \mathcal{I}\)把两个都映射到0，\(T: \mathcal{I} \to \mathcal{I}\)把两个都映射到1。我们发现\(S,T\)不存在自然变换。

米田引理
设\(A\in \mathcal{C}\)，\(h_A\)是范畴\(\mathcal{C}\)上的可表函子，\(G: \mathcal{C}\to \mathbf{Set}\)是\(\mathcal{C}\)上的另一个函子，则有

\[\text{Nat}(h_A, G) \cong G(A) \]

标签：obj,函子,text,Hom,笔记,同调代数,mathcal,态射
来源： https://www.cnblogs.com/euler57721/p/15253612.html