CF559D Randomizer 题解

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Codeforces
Luogu

Description.

给定一个凸包，随机选一个点数 \(\ge3\) 的点集。
问选出点集构成凸包内整点数的期望。
精度 \(10^{-9}\)

Solution.

首先，凸包内整点显然想到皮克定理。
皮克定理是 \(Area=Cnt_{inside}+\frac{Cnt_{edge}}{2}-1\)。
然后如果求凸包内好像牵扯的信息比较多，可以考虑容斥。
答案就是原凸包内的整点（算边）减去被切掉的凸包内整点（算边）。
然后被切掉凸包肯定是原凸包上的一段序列。
于是显然就有一个 \(O(n^2)\) 做法，就考虑枚举新凸包的下一个点。
可以直接维护，概率是 \(\frac{2^{n-k}}{2^n-1-n-n\times(n-1)\div 2}\)，其中 \(k\) 表示选点个数。

但是怎么从 \(O(n^2)\) 优化到更优呢。
哈哈，我们发现 \(\frac{1}{60}\le 10^{18}\)，所以直接枚举后 \(60\) 个点即可，复杂度变成了 \(O\left(n\log\left(\frac{10^9}{10^{-9}}\right)\right)\)，直接 A 了！

Coding.

标签：10,right,frac,Randomizer,CF559D,题解,整点,包内,算边
来源： https://www.cnblogs.com/pealfrog/p/15191383.html