思维|从函数到分段函数
作者:互联网
前言
高中阶段有关分段函数的问题,学生很容易出错,一类是分段函数和复合函数的融合,一类是分段函数方程或分段函数不等式问题,有些学生总是想不通其解法,特作以总结整理。
案例列举1
已知\(f(x)=\begin{cases}2e^{x-1},&x<2\\log_3\;(x^2-1),&x\ge 2\end{cases}\),求 \(f(x+1)\)的表达式;
分析:由题目可知,已知 \(f(x)\) 的解析式,求 \(f(x+1)\)的解析式,其实质是用 \(x+1\) 替换 \(x\) 而得到,故
\(f(x+1)=\begin{cases}2e^{(x+1)-1},&x+1<2\\log_3\;((x+1)^2-1),&x+1\ge 2\end{cases}\),
即得到解析式如下,[注意:学生容易在分段函数的定义域处出错]
\[f(x+1)=\begin{cases}2e^{x},&x<1\\log_3\;((x+1)^2-1),&x\geqslant 1\end{cases} \]
同理同法,我们可以求解 \(f(x-1)\),\(f(2x+3)\)等等。
案例列举2
求解这样的问题,设函数\(f(x)=\begin{cases}2e^{x-1},&x<2\\log_3\;(x^2-1),&x\ge 2\end{cases}\),则方程\(f(x)=2\)的解集是_______. 我们该如何思考呢?
思维提升
我看不妨用减法这样想,将分段函数的段数减少到一段,就得到了这样的问题,如下所示,
已知 \(f(x)=2x^2-3x+1\),求 \(f(x)=2\)的解集,
很显然,我们会想到对 \(f(x)\) 做替换,得到 \(2x^2-3x+1=2\),接下来就是求解常规的二次方程问题。
然后,我们再做加法,当求解分段函数方程时,由于所分的段数为两段[其他两段以上的情形可以据此分析求解],也要替换,不同的是必须带有前提条件,或解析式对应的定义域。
典例剖析
解析:原方程应该等价于以下的方程组:
\(\begin{cases}x<2\\2e^{x-1}=2\end{cases}\)或者\(\begin{cases}x\ge2\\log_3\;(x^2-1)=2\end{cases}\),
分别解得\(x=1\)或\(x=\sqrt{10}\),
故方程的解集为\(\{1,\sqrt{10}\}\)。
由于相等关系和不等关系是并列平行的关系,故求解分段函数不等式,我们就需要将对应的等号变化为不等号即可完成相应的转化。
分析:原不等式等价于以下两个不等式组\(\begin{cases}x<2\\2e^{x-1}>2\end{cases}\)或者\(\begin{cases}x\ge2\\log_3\;(x^2-1)>2\end{cases}\),
分别解得\(1<x<2\)或\(x>\sqrt{10}\),
故解集为\((1,2)\cup(\sqrt{10},+\infty)\)。
标签:思维,begin,函数,求解,2e,cases,分段 来源: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/15163246.html