运筹学笔记3线性规划问题的几何特征

也即是从几何上给线性规划问题的概念给一个具体的说明。

 

 

连接x1,x2的线段，如果包括x1,x2端点则称为闭线段，不包括则称为开线段。  数学上表述为，任取线段内部的某一点x，如果能写出/描述出这点x的轨迹或其坐标变化的规律，

就可以。为了做到这一点，我们设想有x1,x2,分别有以x1,x2为终点的向量也有在二者之间任取的一点x为终点的向量，让后把以x为终点的向量，用以x1,x2为终点的向量表示。

如下图，大体做法为，过点x做向量ox2的平行线，在下图的三角形中，两条蓝色和一条红色向量，其中x轴的蓝色向量是ox1向量的一部分，然后用x1,x2表示ox向量，当x1,x2前面的系数lamda在0和1之间变动时，x也就在线段x1x2上来回变动，那么所有x的轨迹也就是闭线段；如果lamda不取0和1那么，就称为开线段。

 

 

前面讲过一个例子，如下图示，在交点处(2,2)和(3,3/2)处都是最优解，且连接两个点线段之间的任意取值都是最优解；所以闭线段就是以某两个点为端点连接而成的闭合的线段而已。 

 

 

 凸集，如下图中第一个图形，它是一个凸多边形，往外补/顶的多边形，所围成的一个区域/集合，我们称之为凸集。

数学上可这样描述：

在某集合的内部任选两个点，连接这两个点的闭线段仍然示含于这个集合的，我们就称这个集合为凸集。

所以，有这样的若干条直线，围成的凸多边形区域一定示凸集。

            

 

 

大家注意：圆面是不是凸集？肯定是的。因为在其内部任选两点。。。。

但是，圆并不是凸集，因为，在圆边上任选两个点，很显然并不完全在圆上。同理球面也不是。但是，球体是凸集。

顶点：就是不在任意两个点连线的内部(不含端点)的点；如下图的五个顶点(已标出);

 

上图看得到，凸多边形(正好构成一个凸集)的顶点，恰好就是凸多边形构成的凸集的顶点。  那么，圆面是一个凸集，那么圆面有没有顶点呢？有的，圆面的边界就是它的顶点。

 

标签：线性规划,线段,凸集,笔记,向量,x2,顶点,x1,运筹学
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